Topcoder SRM 700 1000pts：AnyNumber（DP）

题解：
首先放满一行之后我们强制规定他可以继续放，这样总方案数是A(∑∣S∣,n)A(\sum |S|,n)A(∑∣S∣,n)，一个方案可能被算很多次。

处理出fi,jf_{i,j}fi,j表示前iii个第一次放满行为jjj的概率，hi,jh_{i,j}hi,j表示前iii个种选一些数放满第jjj行的值的总和（包括第iii个），然后这道题就可以做了。

对于fff的处理只需要背包即可，对于hhh，我们发现如果枚举每个数，枚举每个位置算贡献复杂度是O(n6)O(n^6)O(n6)的，这时候注意到我们可以对一些数同时操作，具体的，记gi,j,kg_{i,j,k}gi,j,k表示前iii个数，右边放了jjj个，长度和为kkk的没放的数的总和，si,j,ks_{i,j,k}si,j,k表示方案数，然后处理g,sg,sg,s都是O(n5)O(n^5)O(n5)的，我们可以利用ggg数组算出前iii个种选一些数放满第jjj行的值的总和（不一定包括第iii个），然后再减一下前面的就可以得到hhh了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N=55, M=3e3+50, mod=1e9+7;
inline int add(int x,int y) {return (x+y>=mod) ? (x+y-mod) : (x+y);}
inline int dec(int x,int y) {return (x-y<0) ? (x-y+mod) : (x-y);}
inline int mul(int x,int y) {return (long long)x*y%mod;}
inline int power(int a,int b,int rs=1) {for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) rs=mul(rs,a); return rs;}
inline int cinv(int a) {return power(a,mod-2);}
inline void up(int &x,int y) {x=add(x,y);}struct binom {int fac[M],ifac[M];binom() {fac[0]=1;for(int i=1;i<M;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);ifac[0]=ifac[1]=1;for(int i=2;i<M;i++) ifac[i]=mul(mod-mod/i,ifac[mod%i]);for(int i=2;i<M;i++) ifac[i]=mul(ifac[i-1],ifac[i]);}inline int A(int n,int m) {if(n<m) return 0;return mul(fac[n],ifac[n-m]);}inline int C(int n,int m) {if(n<m) return 0;return mul(fac[n],mul(ifac[m],ifac[n-m]));}
} C;class AnyNumber {int n,m,a[N],sum,val[N],f[M][N],g[N][N][M],s[N][N][M],h[N][N],tot;string card[N];int len[N],sl[N],pw[M];int pre[N][M],suf[N][M];inline void init_f() { // O(n^3) pre[0][0]=1;for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=0;j<=n;j++) if(pre[i-1][j])for(int k=0;k<a[i];++k)up(pre[i][j+k],mul(pre[i-1][j],mul(C.C(j+k,j),C.A(a[i],k))));suf[m+1][0]=1;for(int i=m;i;i--)for(int j=0;j<=n;j++) if(suf[i+1][j])for(int k=0;k<a[i];++k)up(suf[i][j+k],mul(suf[i+1][j],mul(C.C(j+k,j),C.A(a[i],k))));for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=0;j<=n;j++) if(pre[i-1][j])for(int k=0;k<=n;k++) if(suf[i+1][k])up(f[j+k+a[i]][i],mul(mul(pre[i-1][j],suf[i+1][k]),C.C(j+k,j)));}inline void init_g() { // O(n^4)s[0][0][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) {for(int j=0;j<i;++j)for(int l=0;l<=sl[i-1];++l) if(s[i-1][j][l]) {up(s[i][j][l],s[i-1][j][l]);up(g[i][j][l],g[i-1][j][l]);up(g[i][j][l],mul(s[i-1][j][l],val[i]));up(s[i][j+1][l+len[i]],mul(j+1,s[i-1][j][l]));up(g[i][j+1][l+len[i]],mul(j+1,g[i-1][j][l]));}}}inline void init_h() {for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++) for(int k=0;k<a[j];k++)for(int l=0;l<=sl[i];++l) if(g[i][k][l]) up(h[i][j],mul(g[i][k][l],mul(C.A(i-k-1,a[j]-k-1),pw[l])));for(int i=n;i>=1;i--)for(int j=1;j<=m;j++)h[i][j]=dec(h[i][j],h[i-1][j]);}public:int findExpectation(vector<string> cards, vector<int> blank) {n=cards.size(), m=blank.size();for(int i=1;i<=n;i++) card[i]=cards[i-1];for(int i=1;i<=m;i++) a[i]=blank[i-1], sum+=a[i];for(int i=1;i<=n;i++) len[i]=card[i].size(), sl[i]=len[i]+sl[i-1];pw[0]=1; for(int i=1;i<=sl[n];i++) pw[i]=mul(pw[i-1],10);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<card[i].size();++j) val[i]=add(mul(val[i],10),card[i][j]-'0');init_f();init_g();init_h();int ans=0, tot=0;for(int i=1;i<=n;i++) // O(n^5)for(int j=1;j<=m;j++) if(f[i][j]) {int res=C.A(sum-i,min(n,sum)-i);int cnt=mul(f[i][j],mul(C.C(i-1,a[j]-1),C.fac[a[j]]));ans=add(ans,mul(h[i][j],mul(f[i][j],res)));tot=add(tot,mul(cnt,res));}return mul(ans,cinv(tot));}
};

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