关于广义莫比乌斯反演的思考

本文总结关于广义莫比乌斯反演的一些思想。

1. 广义莫比乌斯反演
为区别平时所说的整数上定义整除关系后，在dirichlet卷积下的莫比乌斯反演，这里更关心其一般化，所以称之为广义莫比乌斯反演。

在Richard A. Brualdi所著的Introductory Combinatorics (版本不限，中文名为组合数学）中The Inclusion-Exclusion Principle and Applications(容斥原理及其应用)一章，最后一节Mobius Inversion(莫比乌斯反演)所介绍的莫比乌斯反演即为本文所提到的广义莫比乌斯反演。

简单地，不严格地说：如果有 f = s * g, s * t = 1，那么有g = t * f。当x是整数上集上带整除关系的偏集上的示性函数：a | b 时 s(a, b) = 1，否则为0，x这个函数通常记为zeta。相应的，由该偏序关系决定的卷积正是Dirichlet卷积。s关于delta(在本文中写作1，请自行区分整数1和delta)的逆就是莫比乌斯函数t，通常记为mu。

问题：通常遇到的mu是一个参数，而上述的s是两个参数，进一步可以猜测t也是两个参数。是的，上述函数都是两个参数，其中卷积的定义如下:f(x, y) = s * g = sum(s(x, z)g(z, y),x <= z and z <= y).令x = 1，<= 关系为整除关系时f(y) = sum(s(1, z)g(z, y), x | z and z | y)。进一步，令ss = s(z/1)，gg=g(y/z)得到f(y) = sum(ss(z)gg(y/z), x | z and z | y)。可以证明，mu(a, b) = mu(b/a)，正好和前面的解释对应。进而解释了为什么在整数，整除关系上莫比乌斯函数只有一个参数。而，在2^X上，集合包含关系下的莫比乌斯函数是(-1)^(|A|-|B|)，可以看到确实有两个参数。当B为空集时，就得到了容斥原理的系数了。书中有详细推导。

到这里，我们将一般莫比乌斯反演提高到广义莫比乌斯反演。广义莫比乌斯反演包含了容斥原理。

前文所述的："如果有 f = s * g, s * t = 1，那么有g = t * f。"将广义莫比乌斯反演提高到泛函的高度。广义莫比乌斯反演只是在 s = 该偏序集的示性函数时的特殊应用。为什么在s取这个特殊的函数时产生了莫比乌斯反演呢？

2. 思想

先引入简单函数和困难函数的概率，简单的一般有直接表达式，或者容易算出来的表达式，反之亦然。这里简单和困难主要是指求值的难易程度。

莫比乌斯反演的思想：假定f,s,t是简单函数，g是困难函数，f = s * g, s * t = 1，我们可以利用g = t * f将困难函数的计算转移到简单函数的计算上。

莫比乌斯反演主要考虑最简单的s：s是偏序集的示性函数，如果t也简单，那么计算可以转移。

如果t不简单呢？为简单起见，只考虑单变量形式，f(n) = s(a_1)g(n/a_1) + s(a_2)g(n/a_2) + s(a_3)g(n/a_3) ... s(a_r)g(n/a_r)其中a_r = n。(除法可能不是一般意义上的除法)。可以断定：如果a_1是最小元，那么a_1 = 1。于是我们得到s(n) = (f(n) - (s(a_1)g(n/a_1) + ... + s(a_{r-1})g(n/a_{r-1})))/g(1)。

到此，解决了莫比乌斯函数t不简单的问题。而一般的莫比乌斯函数的计算就是：先用上述递归，如果得到闭合的简单表达式，你就找到该集合上的莫比乌斯函数了。如果没找到，或者只是觉得麻烦，直接用该递归求解即可。可以在心中认为，在应用该递归时，隐式地计算了莫比乌斯函数。

莫比乌斯反演就是考虑最简单的s，告诉了s的逆简单时的办法，而这里告诉你有更一般的办法。

如果s不是偏序集的示性函数呢？上述递归同样有效。也存在求出t的闭合形式的可能性。也许在之前就遇到过这样的递归形式，在看了这本文后，可以知道，原来从那个时候就会莫比乌斯反演了。或者可以说，在第一次写容斥原理的代码时就是在写莫比乌斯反演的代码。（比如说求不超过n的square free数的个数就是该递归）

3. 文末彩蛋
考虑f = s * g，如果对于批量f的计算有快速方法，那么将方法反向操作后可以直接批量计算g。因为利用g = t * f，不一定能找到g的批量快速计算方法。

例子：设f(x) = sum(s(x/d)g(d), d | x)，当s(d) = 1时，s足够简单，导致对于批量计算所有的f(x)其中 x | n有个快速算法（参考子集卷积算法）。那么如果f简单而g困难，对于反演形式很难找到批量计算的快速算法时，只需要反着执行用g计算f的快速算法，就能快速找到所有的g(x), x|n了。该思想可以用于spoj PAIRDIV2 http://www.spoj.com/problems/PAIRDIV2/

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