来认识一下哥德尔不完备定理
哥德尔不完备定理:“任何无矛盾的公理体系,只要包含初等算术的陈述,则必定存在一个不可判定命题,用这组公理不能判定其真假。”
到20世纪初,数学经过2000多年的发展,已经是开花结果,硕果累累了,涌现出了从毕达哥拉斯,到牛顿、莱布尼茨,再到黎曼、戴德金、康托尔等等,等等一大批如雷贯耳的牛人,这时,这些不安分的牛人们,已经开始蠢蠢欲动,要建立整个数学大厦的基础了。
在1900年的国际数学家大会上,法国著名数学家庞加莱就非常兴奋地宣称:借助集合论概念,我们可以建造整个数学大厦,可以说绝对的严格性已经达到了。
但是,天不随人愿,作为整个数学大厦基础的集合论,就是康托尔这货发明的那套理论,被罗素的理发师悖论轻轻一戳,倒了。你说,你要是作为一个数学家,该多么的沮丧啊,自认为高大上的老祖宗,原来是个赝品(现代的思密达和国中哈士奇该多么颜面无存啊)。
于是,天下大乱——括号,数学界。
但是,乱世出英雄。
在1931年,奥地利裔美国著名数学家哥德尔提出了哥德尔不完备定理,明确的指出:任何一个数学系统,(1)只要它是从有限的公理和基础概念中推导出来的,(2)并且从中能推证出自然数系统,就可以在其中找到一个命题,对于它,我们既没有办法证明,也没有办法推翻。
说得再直白点就是:任何无矛盾的公理体系,只要包含初等算术的陈述,则必定存在一个不可判定命题,用这组公理不能判定其真假。—— 我们的数学系统能不包含初等的算术运算吗?当然不能。初等的算术运算是如何来的?细思极恐!
那么,你们这些不会泡妞,只会沉迷于自己世界的无聊之人,别再争论数学大厦的基础了,数学这玩意儿,你们用得舒服,能解决问题就行了。
嗯,这个纷乱杂吵的世界终于无声了。
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