cosx绝对值的积分
∫∣cosx∣dx\int|cos \space x| dx ∫∣cos x∣dx
一个朴素的想法是,对原函数进行分段讨论,正区间和负区间上有一个符号位的差异。这种方法虽不能说是错误的,但是让我们先进行一下分析。
首先,有原函数和可积,两个概念并不等价。但是,一个函数能求出原函数,其在某些区间上一定是可积的,这个时候不定积分的作用可以这样描述:
将无穷级数的概念从正整数集合拓展到实数集合,这样,一个函数在某段区间上可积的话,其原函数不妨看作是这个实数域上的无穷级数的和函数。这样,某一段实数区间上的积分,就可以看成是对于和函数取差分的结果了。
在上述讨论的意义下,取绝对值的处理方式只能算出一部分正确的答案,对于其余的情况,差分的结果显然是错误的。
于是另一个想法应运而生:我们能不能将这个不定积分表达成两部分的和,即,一部分来表达这个正区间内部的和函数,另一部分来表达两个区间之间的差值呢?答案是肯定的。
以刚才的题目为例:
我们将cosxcos \space xcos x的区间划分为无数个kπ+π2,kπ+3π2k\pi + \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{3\pi}{2}kπ+2π,kπ+23π形式的区间,这是∣cosx∣|cos \space x|∣cos x∣的周期分布。我们要做考虑两个事情:
(1) 每个区间内部的和函数如何表达?
(2) 任意两个区间之间的差分数值如何表示?
先考虑问题(1)。
很明显,每个区间内部的和函数可以简单的表达成 sin(x−kπ−π)−sin(−π2)sin \space (x - k \pi - \pi) - sin \space(-\frac{\pi}{2})sin (x−kπ−π)−sin (−2π)。sin((k+1)π+x)sin\space((k + 1)\pi + x)sin ((k+1)π+x)形式的表达式我们稍后再进行推导。为方便后面的叙述,我们先把这个函数记成S(x)S(x)S(x)。
再考虑问题(2)。
考虑三个区间的情况,见图。
我们假设一个区间内的积分值为D(x)D(x)D(x)。
x0x_0x0到x1x_1x1之间的积分值,应该被叙述为:
D(II)+D(I)−S(x0)+S(x1)D(II) + D(I) - S(x_0) + S(x_1)D(II)+D(I)−S(x0)+S(x1)。
即,第二个区间内的积分值,加上第一个区间内x0x_0x0右边的积分值,再加上第三个区间内x1x_1x1左边的积分值。
不难对其进行一般化。这个时候,任意两点x0=k1π+b1,x1=k2π+b2,b∈[pi2,3π2,k∈Z]x_0=k_1\pi+b_1, x_1 = k_2\pi+b_2, b \in [\frac{pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, k \in \Z]x0=k1π+b1,x1=k2π+b2,b∈[2pi,23π,k∈Z]之间的积分值可以被表达为:
S(x1)−S(x0)+(k1−k0)∗D(x)S(x_1) - S(x_0) + (k_1 - k_0) * D(x)S(x1)−S(x0)+(k1−k0)∗D(x).
很明显,它是F(x1)−F(x0)F(x_1) - F(x_0)F(x1)−F(x0)的形式,符合我们对它的期望。
S(x)S(x)S(x)我们已经求出来过了,现在如果能有一种方法用来表达ki∗D(x)k_i*D(x)ki∗D(x)就好了。那我们就让它等于k∗D(x)k * D(x)k∗D(x)吧。
现在原函数∫∣cosx∣dx=S(x)+ki∗D(x)\int |cosx|dx=S(x) + k_i * D(x)∫∣cosx∣dx=S(x)+ki∗D(x)已经推导出来了,对于这个题目来说就是sin(x−kπ−π)−sin(−π2)+k∗2sin \space (x - k \pi - \pi) - sin \space(-\frac{\pi}{2})+k*2sin (x−kπ−π)−sin (−2π)+k∗2。
下一个问题是,为什么三大计算上的答案写成了sin((k+1)π+x)sin\space((k + 1)\pi + x)sin ((k+1)π+x)呢?
我们所需要的只有奇区间,即形如2kπ−π2,2kπ+π22k\pi-\frac{\pi}{2}, 2k\pi+\frac{\pi}{2}2kπ−2π,2kπ+2π的区间。将x=kπ+bx=k\pi+bx=kπ+b带入,即(2k+1)π+b(2k+1)\pi+b(2k+1)π+b,它亦是奇区间。
讨论就此结束了。我们可以从中总结出周期性函数、周期积分不为0且为固定值的函数的原函数的求法。从与一般的函数的答案表达式的对比中我们可以发现,不定积分的原函数表达式不妨扩展成∫f(x)dx=F(x)+C+Cperiod\int f(x) dx = F(x) + C + C_{period}∫f(x)dx=F(x)+C+Cperiod,即,周期性函数的不定积分的常数项由两部分组成,一个是常数CCC,另一个是与周期有关的周期变量,它表征了欲求的两个区间之间经历的周期数对答案的贡献。这个周期变量,在非周期函数中,以及每个周期的积分值都为0的周期函数中,是一个数值为0的常量。
cosx绝对值的积分相关推荐
- 用计算机算3次根号0.00005,使用ORCA在TDDFT下计算旋轨耦合矩阵元和绘制旋轨耦合校正的UV-Vis光谱...
使用ORCA在TDDFT下计算旋轨耦合矩阵元和绘制旋轨耦合校正的UV-Vis光谱 文/Sobereva@北京科音 First release: 2019-Feb-10 Last update: 20 ...
- 考研失败想要二战怎么从绝望中走出来?
考研二战想要顺利上岸,必须心态为王!!! 很多考生失利都是因为心态问题,而且二战生比一战考生面临更多方面的考验. 二战不等于一战再来一遍,更加需要调节心态.稳定心态! 考研二战痛苦吗?痛苦.可是三战. ...
- youcans 的 OpenCV 学习课—8.频率域图像滤波(上)
欢迎关注 『OpenCV 例程200篇』 系列,持续更新中 欢迎关注 『youcans 的 OpenCV 学习课』 系列,持续更新中 youcans 的 OpenCV 学习课-1.安装与环境配置 yo ...
- 【OpenCV 例程200篇】70. 一维连续函数的傅里叶变换
[OpenCV 例程200篇]70. 一维连续函数的傅里叶变换 欢迎关注 『OpenCV 例程200篇』 系列,持续更新中 欢迎关注 『Python小白的OpenCV学习课』 系列,持续更新中 2.1 ...
- 【OpenCV 例程200篇】69. 连续非周期信号的傅立叶系数
[OpenCV 例程200篇]69. 连续非周期信号的傅立叶系数 欢迎关注 『OpenCV 例程200篇』 系列,持续更新中 欢迎关注 『Python小白的OpenCV学习课』 系列,持续更新中 傅里 ...
- 【OpenCV 例程200篇】68. 连续周期信号的傅立叶级数
[OpenCV 例程200篇]68. 连续周期信号的傅立叶级数 欢迎关注 『OpenCV 例程200篇』 系列,持续更新中 欢迎关注 『Python小白的OpenCV学习课』 系列,持续更新中 1. ...
- 漫步数学分析番外六(下)
定理9\textbf{定理9} 令f:A→Rf:A\to R在开集AA上二阶可导且D2fD^2f连续(即函数∂2f/(∂xi∂j)\partial^2f/(\partial x_i\partial_j ...
- 为什么c相电路在前面_Buck电路的多角度分析
1.Buck电路的模型 Buck电路是最常见的电路,具体电路结构如图所示. 对其进行等效,得到的等效电路如图2所示: 对图1进行等效后得到徒图2电路,可以看出相当于一个脉冲波形的输出,高电压幅值为Vi ...
- buck电路_Buck电路的多角度分析
1.Buck电路的模型 Buck电路是最常见的电路,具体电路结构如图所示. 对其进行等效,得到的等效电路如图2所示: 对图1进行等效后得到徒图2电路,可以看出相当于一个脉冲波形的输出,高电压幅值为Vi ...
最新文章
- Intellij IDEA Debug 调试技巧
- 相关方登记册模板_项目的主要相关方
- java bidi_Java Bidi createLineBidi()用法及代码示例
- css文字换行问题white-space:pre-line或者white-space:pre-wrap,解决word-wrap:break-word解决不了的...
- [转]网页栅格系统研究(2):蛋糕的切法
- IDEA 正式版终于支持中文版和 JDK 直接下载了(太方便了)附介绍视频
- HDFS Federation
- Using Swift with Cocoa and Objective-C(Swift 2.0版):开始--基础设置-备
- R爬虫小白入门:Rvest爬链家网+分析(一)
- 5. 在Windows上安装Git
- Linux防火墙(iptables)的开启与关闭
- uni-app android权限
- PostgreSQL下载、安装和配置使用
- 为NanoPi M2 自制Debian镜像
- Python|用turtle画笔画爱心
- 幼儿园班级信息管理系统
- 2019哈工大计算机考研复试,哈工大计算机专业,复试比例101%,擦线党没戏了...
- 分享5个宝藏小网站,工作学习都能用到
- 基于深度学习的遥感应用
- 什么是RPC? 为什么要用RPC?