遍历二叉树（Traversing Binary Tree）

二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

实际应用中，查找树中符合条件的结点，或对结点进行的各种处理，这里简化为输出结点的数据。线性结构：容易解决。

二叉树遍历操作的结果----非线性结构线性化

考虑二叉树的组成：

如果限定先左后右，则二叉树遍历方式有三种：前序（根）：DLR；中序（根）：LDR ；后序（根）：LRD

注：“先、中、后”的意思是指访问的结点D是先于子树出现还是后于子树出现。

前序（根）遍历

若二叉树为空，则空操作返回；否则： ①访问根结点； ②前序遍历根结点的左子树； ③前序遍历根结点的右子树。

前序遍历序列：A B D G C E F

中序（根）遍历

若二叉树为空，则空操作返回；否则： ①中序遍历根结点的左子树； ②访问根结点； ③中序遍历根结点的右子树。

中序遍历序列：D G B A E C F

后序（根）遍历

若二叉树为空，则空操作返回；否则： ①后序遍历根结点的左子树； ②后序遍历根结点的右子树。 ③访问根结点；

后序遍历序列：G D B E F C A

遍历结果 “恢复”二叉树

已知一棵二叉树的前序序列和中序序列，构造该二叉树的过程如下：

1. 根据前序序列的第一个元素建立根结点；

2. 在中序序列中找到该元素，确定根结点的左右子树的中序序列；

3. 在前序序列中确定左右子树的前序序列；

4. 由左子树的前序序列和中序序列建立左子树；

5. 由右子树的前序序列和中序序列建立右子树。

已知一棵二叉树的后序序列和中序序列，分别是DECBHGFA 和BDCEAFHG 是否可以唯一确定这棵树？

①由后序遍历特征，根结点必在后序序列尾部（即A）；

②由中序遍历特征，根结点必在其中间，而且其左部必全部是左子树子孙（即BDCE），其右部必全部是右子树子孙（即FHG）；

③继而，根据后序中的DECB子树可确定B为A的左孩子，根据HGF子串可确定F为A的右孩子；以此类推。

遍历的算法实现：递归和非递归实现。 用递归形式格外简单！

二叉树结点的数据类型定义

typedef struct Tnode *BiTree;
typedef struct Tnode {int data;BiTree  left_child, right_child;
} Tnode;

//结点数据类型自定义
typedef struct Tnode{int data; struct Tnode   *lchild,*rchild；
} Tnode, *BiTree;
//先序遍历算法
DLR(Tnode *root ){if (root){ //非空二叉树printf(“%d”,root->data); //访问DDLR(root->lchild); //递归遍历左子树DLR(root->rchild); //递归遍历右子树} return(0);
}
//中序遍历算法
LDR(Tnode *root){if(root){LDR(root->lchild);printf(“%d”,root->data);LDR(root->rchild); } return(0);
}
//后序遍历算法
LRD (Tnode *root){if(root){ LRD(root->lchild);LRD(root->rchild);printf(“%d”,root->data); } return(0);
}

对遍历的分析

从前面的三种遍历算法可以知道：如果将printf语句抹去，从递归的角度看，这三种算法是完全相同的，或者说这三种遍历算法的访问路径是相同的，只是访问结点的时机不同。

从虚线的出发点到终点的路径上，每个结点经过3次。

第1次经过时访问＝先序遍历

第2次经过时访问＝中序遍历

第3次经过时访问＝后序遍历

二叉树遍历的时间效率和空间效率

时间效率:O(n) //每个结点只访问一次

空间效率:O(n) //栈占用的最大辅助空间

递归遍历的应用1：计算二叉树中叶子结点的数目

思路：输出叶子结点比较简单，用任何一种遍历算法，凡是左右指针均空者，则为叶子，将其统计并打印出来。

DLR(Tnode *root)     //采用先序遍历的递归算法
{ if ( root!=NULL ) //非空二叉树条件，还可写成if(root){      if(!root->lchild&&!root->rchild)  //是叶子结点{sum++; printf("%d\n",root->data);}DLR(root->lchild); //递归遍历左子树，直到叶子处；DLR(root->rchild); }//递归遍历右子树，直到叶子处；} return(0);
}

递归遍历的应用2：二叉树的建立

遍历是二叉树各种操作的基础，可以在遍历的过程中进行各种操作，例如建立一棵二叉树。

为了建立一棵二叉树，将二叉树中每个结点的空指针引出一个虚结点，其值为一特定值如“#”，以标识其为空，把这样处理后的二叉树称为原二叉树的扩展二叉树。

扩展二叉树的前序遍历序列：A B # D # # C # #

设二叉树中的结点均为一个字符。假设扩展二叉树的前序遍历序列由键盘输入，root为指向根结点的指针，二叉链表的建立过程是：首先输入根结点，若输入的是一个“#”字符，则表明该二叉树为空树，即root=NULL；否则输入的字符应该赋给root->data,，之后依次递归建立它的左子树和右子树。

思路：利用前序遍历来建树(结点值陆续从键盘输入)

Status createBTpre(BiTree T ){ scanf(“%c”,&ch);if(ch==’# ’)T=NULL;
else{T=( Bintree )malloc(sizeof(Tnode));T->data=ch;createBTpre(T->lchild);createBTpre(T->rchild); }return OK;
}

递归遍历的应用3：求二叉树深度

求二叉树深度，或从x结点开始的子树深度。

算法思路：只查各结点后继链表指针，若左(右) 孩子的左(右)指针非空，则层次数加1；否则函数返回。

当T= NULL时,深度为0; 否则, T的深度= MAX{左子树深度,右子树深度}+1;

int  Depth(BiTree T)
{if (T= =NULL) return 0;else {hl= Depth(T->lchild);hr= Depth(T ->rchild);return max(hl, hr)+1;}
}

1. 求二叉树结点数。

int  num(BiTree T)
{if (T= =NULL) return 0;else {left= num (T->lchild);right= num(T ->rchild);return left+right+1;}
}

2. 按层次输出二叉树中所有结点。

算法思路：既然要求从上到下，从左到右，则利用队列存放各子树结点的指针是个好办法，而不必拘泥于递归算法。

技巧：初始时把根节点入队，当根结点出队后，令其左、右孩子结点入队（空不入队），而左孩子出队时又令它的左右孩子结点入队，……由此便可产生按层次输出的效果。

遍历序列：A B C D E F G

3.判别给定二叉树是否为完全二叉树（即顺序二叉树）。

算法思路：完全二叉树的特点是：没有左子树空而右子树单独存在的情况(前k-1层都是满的，且第k层左边也满）。

技巧:按层序遍历方式，先把所有结点（不管当前结点是否有左右孩子）都入队列.若为完全二叉树,则层序遍历时得到的肯定是一个连续的不包含空指针的序列.如果序列中出现了空指针，则说明不是完全二叉树。

非递归算法——前序遍历

二叉树前序遍历的非递归算法的关键：在前序遍历过某结点的整个左子树后，如何找到该结点的右子树的根指针。

解决办法：在访问完该结点后，将该结点的指针保存在栈中，以便以后能通过它找到该结点的右子树。

在前序遍历中，设要遍历二叉树的根指针为p，则有两种可能：

⑴ 若p!=NULL，Visit(p->data);Push(S,p); p= p->lchild

⑵ 若p=NULL，Pop( S,p); p = p->rchild;

前序遍历——非递归算法（伪代码）

1.栈s初始化；

2.循环直到p为空且栈s为空

2.1 当p不空时循环 2.1.1 输出p->data;

2.1.2 将指针p的值保存到栈中；

2.1.3 继续遍历p的左子树

2.2 当p为空，栈s不空，则

2.2.1 将栈顶元素弹出至p；

2.2.2 准备遍历p的右子树；

Status preTraverse(BiTree T,Status( *Visit)(TElemType  e))
{  //前序遍历的非递归算法InitStack( S ); p=T;while ( p || !StackEmpty(S) ) {// 栈不空或树不空if ( p ) {if ( !Visit( p->data) )   return ERROR;访问根结点,Push(S,p);    p= p->lchild; }  // 根指针进栈,遍历左子树else  {    // 左子树访问完了,根指针退栈, 遍历右子树Pop( S,p); p = p->rchild;}  // else}   // whilereturn   OK;}  //  InorderTraverse

用二叉链表法（l_child, r_child）存储包含n个结点的二叉树，结点的指针区域中会有多少个空指针？

分析：用二叉链表存储包含n个结点的二叉树，结点必有2n个链域（见二叉链表数据类型说明）。除根结点外，二叉树中每一个结点有且仅有一个双亲（直接前驱），所以只会有n－1个结点的链域存放指针，指向非空子女结点（即直接后继）。所以，空指针数目＝2n-(n-1)=n+1个。

二叉链表空间效率这么低，能否利用这些空闲区存放有用的信息或线索？ ——我们可以用它来存放当前结点的直接前驱和后继等线索，以加快查找速度。 ——线索二叉树

线索二叉树（Threaded Binary Tree）

1. 定义

普通二叉树只能找到结点的左右孩子信息，而该结点的直接前驱和直接后继只能在遍历过程中获得。

若将遍历后对应的有关前驱和后继预存起来，则从第一个结点开始就能很快“顺藤摸瓜”而遍历整个树了。

例如中序遍历结果：B D C E A F H G，实际上已将二叉树转为线性排列，显然具有唯一前驱和唯一后继。

预存信息两种方法：增加两个域：fwd（存放前驱指针）和bwd（存放后继指针）；利用空链域（n+1个空链域）

规定：

1）若结点有左子树，则lchild指向其左孩子；否则， lchild指向其直接前驱(即线索)；

2）若结点有右子树，则rchild指向其右孩子；否则， rchild指向其直接后继(即线索) 。

为区别两种不同情况，特增加两个标志域（各1bit)

约定:当Tag域为0时,表示正常情况;当Tag域为1时,表示线索情况.

附：有关线索二叉树的几个术语：

线索链表：用含Tag的结点样式所构成的二叉链表。

线索：指向结点前驱和后继的指针。

线索二叉树：加上线索的二叉树。

线索化：对二叉树以某种次序遍历使其变为线索二叉树的过程。

增加了前驱和后继等线索能方便找出当前结点的前驱和后继，不用堆栈也能遍历整个树。

2. 线索二叉树的生成

线索化过程就是在遍历过程中修改空指针的过程：

将空的lchild改为结点的直接前驱；

将空的rchild改为结点的直接后继。

非空指针仍然指向孩子结点（称为“正常情况”）

线索二叉树的生成算法

目的：在依某种顺序遍历二叉树时修改空指针，添加前驱或后继。

注解：为方便添加结点的前驱或后继，需要设置两个指针：p指针→当前结点之指针； pre指针→前驱结点之指针。

技巧：当结点p的左/右域为空时，只改写它的左域（装入前驱pre），而其右域（后继）留给下一结点来填写。或者说，当前结点的指针p应当送到前驱结点的空右域中。

若p->lchild＝NULL,则{p->Ltag=1;p->lchild＝pre;} //p的前驱结点指针pre存入左空域

若pre->rchild＝NULL, 则{pre->Rtag＝1;pre->rchild=p;} //p存入其前驱结点pre的右空域

Status InorderThreading(BiThrTree  & Thrt, BiThrTree  T)
{ //中序遍历二叉树T,并将其中序线索化, Thrt 指向头结点.if ( ! (Thrt = (BiThrTree) malloc ( sizeof (BiThrnode) ) )exit ( OVERFLOW ) ;Thrt ->LTag = Link;   Thrt ->RTag = Thead;   // 建头结点Thrt ->rchild = Thrt ;                                       //右指针回指if ( !T ) Thrt ->lchild = Thrt ;    // 若二叉树空,则左指针回指else {Thrt ->lchild = T;     pre = Thrt; //将头结点与树相连InThreading(T);          // 中序遍历进行中序线索化pre ->rchild = Thrt;   pre ->RTag = Thread;     //最后一个结点线索化Thrt ->rchild = pre;}return OK;} // InOrderThreading

void InThreading (BiThrTree p){ if (p){   InThreading( p->lchild );  // 左子树线索化if ( !p->lchild ) { p->LTag=Thread; p->lchild=pre; } // 前驱线索if ( !pre->rchild ){ pre->RTag=Thread; pre->rchild=p; } //后继线索pre = p;                         // 保持pre指向p的前驱InThreading(p->rchild);      //右子树线索化}} // InThreading

3. 线索二叉树的遍历

理论上，只要找到序列中的第一个结点，然后依次访问结点的后继直到后继为空时结束。但是，在线索化二叉树中，并不是每个结点都能直接找到其后继的，当标志为0时，R_child=右孩子地址指针，并非后继！需要通过一定运算才能找到它的后继。

以中序线索二叉树为例：对叶子结点（RTag=1），直接后继指针就在其rchild域内；对其他结点（RTag=0），直接后继是其右子树最左下的结点；

（因为中序遍历规则是LDR，先左再根再右该结点访问完后，下一个要访问的是其右子树上第一个要访问的结点）

线索二叉树的中序遍历算法

//程序注解  (非递归，且不用栈）：
P=T->lchild;   //从头结点进入到根结点；
while( p!=T)
{  while(p->LTag==link)p=p->lchild;  //先找到中序遍历起点if(!visit(p->data)) return ERROR;  //若起点值为空则出错告警while(p->RTag==Thread ……){ p=p->rchild; Visit(p->data);}//若有后继标志，则直接提取p->rchild中线索并访问后继结点；p=p->rchild;  //当前结点右域不空或已经找好了后继，则一律从结点的右子树开始重复{  }的全部过程。
}
Return OK;

算法流程

代码实现：二叉树的应用https://blog.csdn.net/qq1457346557/article/details/107122992

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