立体角

$d\Omega = \frac{dA}{r^2}$

各坐标系下的梯度，散度，旋度表达式

直角坐标系

梯度	$\bigtriangledown f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{x}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{y}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{z}$
散度	$\bigtriangledown \cdot f=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}$
旋度	$\bigtriangledown \times f=\begin{bmatrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ f_{x} &f_{y} & f_{z} \end{bmatrix}$

柱坐标系

梯度	$\bigtriangledown f=\frac{\partial f}{\partial \rho }\vec{e_{\rho }}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \theta }\vec{e_{\theta }}+\frac{\partial f}{\partial z }\vec{e_{z}}$
散度	$\bigtriangledown \cdot f=\frac{1}{\rho }\frac{\partial (\rho f_{\rho }))}{\partial \rho }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial f_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{\partial f_{z}}{\partial z}$
旋度	$\bigtriangledown \times f=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix} \vec{e_{p}} &\rho \vec{e_{\theta }} & \vec{e_{z}}\\ \frac{\partial }{\partial \rho }&\frac{\partial }{\partial \theta } &\frac{\partial }{\partial z} \\ f_{\rho }&\rho f_{\theta } & f_{z} \end{vmatrix}$

球坐标系

梯度	$\bigtriangledown f=\frac{\partial f}{\partial \rho }\vec{e_{\rho }}+\frac{1}{\rho sin\varphi }\frac{\partial f}{\partial \theta }\vec{e_{\theta }}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \varphi }\vec{e_{\varphi }}$
散度	$\bigtriangledown \cdot f=\frac{1}{\rho ^{2}}\frac{\partial (\rho ^{2}f_{\rho })}{\partial \rho }+\frac{1}{\rho sin\varphi }\frac{\partial f_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{1}{\rho sin\varphi }\frac{\partial (sin\varphi f_{\varphi })}{\partial \varphi }$
旋度	$\bigtriangledown \times f=\frac{1}{\rho ^{2}sin\varphi }\begin{vmatrix} \vec{e_{\rho }} & \rho \vec{e_{\varphi }} &\rho sin\varphi \vec{e_{\theta }} \\ \frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \varphi }&\frac{\partial }{\partial \theta } \\ f_{\rho } &\rho f_{\varphi } & psin\varphi f_{\theta } \end{vmatrix}$

矢量运算

矢量积

$\vec{A}\times \vec{B}=a_{n}ABsin\theta$

不满足交换律，满足分配率

三重积

标量三重积 $\mathbf{C \cdot (A\times B))}=ABCsin\theta cos\varphi$

θ表示矢量A与B之间的夹角

φ表示矢量C与A×B之间的夹角

标量三重积满足 $\mathbf{A\cdot (B\times C)=B\cdot (C\times A)=C\cdot \left ( A\times B \right )}$

矢量三重积 $A\times (B\times C)=(A\cdot C)B-(A\cdot B)C$

矢量函数和微分

设F(u)是单变量u的矢量函数，它对u的导数定义为

$\frac{dF}{du}=\lim_{\Delta u->0}\frac{\Delta F}{\Delta u}=\frac{F(u+\Delta u)-F(u)}{\Delta u}$

设f和F分别是变量u的标量函数和矢量函数，二者积的导数为

$\frac{d(fF)}{du}=f\frac{dF}{du}+F\frac{df}{du}$

正交坐标系

圆柱坐标系

线元，面积元与体积元

$d\mathbf{l=a_\rho}d\rho+\mathbf{a_\phi}\rho d\phi+\mathbf{a_z}dz$

$\begin{matrix} dS_\rho=a_\rho \rho d\phi dz\\dS_\phi = a_\phi d\rho dz \\ dS_z=a_z \rho d\rho d\phi \end{matrix}$

$dV=\rho d\rho d\phi dz$

与正坐标系的转换

$\left [ \begin{matrix} A_x\\A_y \\ A_z \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} cos\varphi & -sin\varphi & 0\\sin\varphi &cos\varphi &0 \\ 0& 0& 1 \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} A_\rho \\A_\varphi \\A_z \end{matrix} \right ]$

$\left [ \begin{matrix} A_\rho\\A_\phi \\ A_z \end{matrix} \right ]=\left [ \begin{matrix} cos\phi & sin\phi & 0\\ -sin\phi &cos\phi &0 \\ 0& 0 &1 \end{matrix} \right ]\left [ \begin{matrix} A_x\\A_y \\ A_z \end{matrix} \right ]$

球坐标系

线元，面积元与体积元

$\begin{matrix} d\mathbf{l}=\mathbf{a_r}dr+\mathbf{a_\theta}rd\theta +\mathbf{a_\phi}rsin\theta d\phi\\\left\{\begin{matrix} dS_r=a_r r^2sin\theta d\theta d\phi\\ dS_\phi = a_\phi rdrd\theta \\dS_\theta = a_\theta r sin\theta drd\phi \end{matrix}\right. \\ dV=r^2sin\theta dr d\theta d\phi \end{matrix}$

与正坐标系的转换

$\left [ \begin{matrix} A_x\\A_y \\ A_z \end{matrix} \right ]=[\begin{matrix} sin\theta cos\phi& cos\theta cos\phi &-sin\phi \\ sin\theta sin\phi &cos\theta sin\phi & cos\phi\\ cos\phi &-sin\phi &0 \end{matrix}]\left [ \begin{matrix} A_r\\A_\theta \\ A_\rho \end{matrix} \right ]$

$\begin{bmatrix} A_r\\A_\theta \\ A_\phi \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} sin\theta cos\phi &sin\theta sin\phi &cos\theta \\ cos\theta cos\phi& cos\theta sin\phi & -sin\theta\\ -sin\phi&cos\phi &0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_x\\ A_y \\ A_z \end{bmatrix}$

标量场的梯度

梯度运算基本公式

与导数相同

梯度在柱坐标系和球坐标系中的表达式

$\bigtriangledown u=a_\rho \frac{\partial u}{\partial \rho}+a_\phi \frac{1}{\rho}\frac{\partial u}{\partial \phi}+a_z\frac{\partial u}{\partial z}$

$\bigtriangledown u=a_r\frac{\partial u}{\partial r}+a_\theta \frac{1}{r}\frac{\partial u }{\partial \theta}+a_\phi \frac{1}{rsin\theta}\frac{\partial u}{\partial \phi}$

重要性质

现有 $R=\begin{bmatrix} (x-x^{'})^2+(y-y^{'})^2+(z-z^{'})^2 \end{bmatrix}$ ,有 $\bigtriangledown (\frac{1}{R})=-\bigtriangledown ^{'}(\frac{1}{R})$

其中， $\bigtriangledown ^{'}$ 表示对 $x^{'},y^{'},z^{'}$ 微分

矢量场的散度

散度在柱坐标系和球坐标系中的表达式

$\bigtriangledown \cdot F=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z}$

$\bigtriangledown \cdot F = \frac{1}{\rho}\frac{\partial (\rho F_\rho)}{\partial \rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial F}{\partial \phi}+\frac{\partial F}{\partial z}$

$\bigtriangledown \cdot F=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 F_r)+\frac{1}{rsin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin\theta F_\theta)+\frac{1}{r sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

散度运算基本公式

$\begin{bmatrix} \bigtriangledown \cdot \mathbf{C}=0\\ \bigtriangledown \cdot \mathbf{C}f=\mathbf{C} \cdot \bigtriangledown f\\ \bigtriangledown \cdot (kF)=k\bigtriangledown \cdot F\\ \bigtriangledown \cdot (fF)=f\bigtriangledown \cdot F+F\bigtriangledown \cdot f\\ \bigtriangledown \cdot (F\pm G)=\bigtriangledown \cdot F \pm \bigtriangledown \cdot G \end{bmatrix}$

高斯散度定理

$\oint _s F\cdot dS=\int_V \bigtriangledown \cdot F dV$

矢量场的旋度

旋度计算基本公式

$\left\{\begin{matrix} \bigtriangledown \times C=0\\ \bigtriangledown \times (kF)=k \bigtriangledown \times F\\ \bigtriangledown \times(fC)=\bigtriangledown f\times C\\ \bigtriangledown \times(fF)=f\bigtriangledown \times F+\bigtriangledown f\times F\\ \bigtriangledown \times (F \pm G)= \bigtriangledown \times F \pm \bigtriangledown \times G \\ \bigtriangledown \cdot (F \times G)=G \cdot (\bigtriangledown \times F)-F \cdot (\bigtriangledown \times G) \end{matrix}\right.$

C为常矢量；k为常数；f为标量函数

旋度在柱坐标系和球坐标系中的表达式

$rotF=\begin{vmatrix} a_x & a_y &a_z \\ \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y &F_z \end{vmatrix}$

$rotF=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} a_\rho & \rho a_\phi & a_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial }{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z}\\ F_\rho&\rho F_\phi &F_z \end{vmatrix}$

$rotF=\frac{1}{r^2 sin\theta}\begin{vmatrix} a_r & ra_\theta & rsin\theta a_\phi\\ \frac{\partial}{\partial \rho} &\frac{\partial}{\partial \theta} &\frac{\partial}{\partial \phi} \\ F_r& rF_\theta & rsin\theta F_\phi \end{vmatrix}$

斯托克斯定理

$\oint _C F\cdot dl= \int _S \bigtriangledown \times F \cdot dS$

场函数的二阶微分运算

零恒等式

$\left\{\begin{matrix} \bigtriangledown \times (\bigtriangledown u)\equiv 0\\ \bigtriangledown \times (\bigtriangledown \times F)\equiv 0 \end{matrix}\right.$

拉普拉斯运算

标性拉普拉斯运算

$\bigtriangledown ^2u=\bigtriangledown \cdot (\bigtriangledown u)$

$\left\{\begin{matrix} \bigtriangledown ^2 u=(\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2}{\partial z^2})u\\ \bigtriangledown ^2 u=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho \frac{\partial u}{\partial \rho})+\frac{1}{\rho ^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial \phi ^2}+\frac{\partial ^2 u}{\partial z^2}\\ \bigtriangledown ^2 u=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial u}{\partial r})+\frac{1}{r ^2 sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}(sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2 sin^2 \theta}\frac{\partial ^2 u}{\partial \phi ^2} \end{matrix}\right.$

矢性拉普拉斯运算

$\bigtriangledown ^2F=\bigtriangledown(\bigtriangledown \cdot F)-\bigtriangledown \times(\bigtriangledown \times F)$

亥姆霍兹定理

在空间的有限区域内的任意一个矢量场，若已知它的散度，旋度与边界条件，那么该矢量场就被唯一地确定，并可表示为一个无旋场和一个无源场之和

例题

高等数学拾遗矢量分析相关推荐

电磁兼容------第一章矢量分析1（散度）
电磁兼容第一章矢量分析电磁兼容 1. 矢量 1.1 矢量表示 1.2 矢量的计算 2. 场 2.1 定义 2.2 分类 2.3 矢量场的通量 2.3.1 定义 2.3.2 公式 2.4 矢量场的 ...
南昌大学计算机专业高数课本,南昌大学高等数学期末考试.pdf
南昌大学2008学年第二学期高等数学期末考试试卷 ( 3 15 ) 一. 填空题每空分,共分           a 3i  j  2k, b i  2j  k, ( ...
WPF学习拾遗（二）TextBlock换行
原文:WPF学习拾遗(二)TextBlock换行下午在帮组里的同事解决一个小问题,为了以后方便,把就把它收集一下吧. 新建一个TextBlock作为最基础的一个控件,他所携带的功能相对于其他的控件要 ...
5分钟带你读「大清」微积分！160多年前清朝数学家撰写文言文版高等数学
视学算法报道编辑:小咸鱼好困 [新智元导读]你有见过160多年前清朝数学家写的微积分书吗?这可能是最难懂的高数教材了,堪称天书!近日,网上流传着一本清朝的微积分课本,其中的所有数学表达式都是 ...
高等数学·同济七版+线性代数第六版+概率论与数理统计第四版（教材+辅导）
教材加辅导内容简介 <高等数学>第7版是普通高等教育"十二五"国家级规划教材,在第6版的基础上作了进一步的修订.版教材在保留原教材结构严谨,逻辑清晰.叙述详细.通俗易 ...
大一计算机期末考试高数试卷,高等数学大一期末试卷(A)及答案
清华大学,高等数学,期末,考试,复习清华大学 2011-2012学年第一学期期末考试试卷(A卷) 及参考解答与评分标准考试科目: 高等数学A(上) 考试班级: 2009级工科各班考试方式: ...
高等数学思维导图_直击高数重点！这份思维导图请收下
点击蓝色字关注我们! Hello,同学们今天是又来发福利的小渥有需要的同学们在后台回复[高数]便可获取高清版噢我们的数学老师整理了一份高等数学的思维导图思维导图是一种简单而有效的学习 ...
迁移 Nexus 软件仓库拾遗
本文使用「署名 4.0 国际 (CC BY 4.0)」许可协议,欢迎转载.或重新修改使用,但需要注明来源. 署名 4.0 国际 (CC BY 4.0) 本文作者: 苏洋创建时间: 2018年10月0 ...
C# Windows基础拾遗01—线条绘制篇
Windows绘制图形首先要定义DC(Device Context),在.NET中直接使用Graphics类.然后分配画图工具如画笔等,调用绘图函数进行绘制.要注意的是,画图后要记得释放Graphic ...

高等数学拾遗矢量分析

立体角

各坐标系下的梯度，散度，旋度表达式

矢量运算

矢量积

三重积

矢量函数和微分

正交坐标系

圆柱坐标系

线元，面积元与体积元

与正坐标系的转换

球坐标系

线元，面积元与体积元

与正坐标系的转换

标量场的梯度

梯度运算基本公式

梯度在柱坐标系和球坐标系中的表达式

重要性质

矢量场的散度

散度在柱坐标系和球坐标系中的表达式

散度运算基本公式

高斯散度定理

矢量场的旋度

旋度计算基本公式

旋度在柱坐标系和球坐标系中的表达式

斯托克斯定理

场函数的二阶微分运算

零恒等式

拉普拉斯运算

标性拉普拉斯运算

矢性拉普拉斯运算

亥姆霍兹定理

例题

高等数学拾遗矢量分析相关推荐

最新文章

热门文章

高等数学拾遗 矢量分析

立体角

各坐标系下的梯度，散度，旋度表达式

矢量运算

矢量积

三重积

矢量函数和微分

正交坐标系

圆柱坐标系

线元，面积元与体积元

与正坐标系的转换

球坐标系

线元，面积元与体积元

与正坐标系的转换

标量场的梯度

梯度运算基本公式

梯度在柱坐标系和球坐标系中的表达式

重要性质

矢量场的散度

散度在柱坐标系和球坐标系中的表达式

散度运算基本公式

高斯散度定理

矢量场的旋度

旋度计算基本公式

旋度在柱坐标系和球坐标系中的表达式

斯托克斯定理

场函数的二阶微分运算

零恒等式

拉普拉斯运算

标性拉普拉斯运算

矢性拉普拉斯运算

亥姆霍兹定理

例题

高等数学拾遗 矢量分析相关推荐

最新文章

热门文章

高等数学拾遗矢量分析

高等数学拾遗矢量分析相关推荐