正题

题目链接:https://gmoj.net/senior/#main/show/6065

题目大意

oneness(x)oneness(x)oneness(x)表示xxx的约数中全是111的数的个数，给出一个长度为lll的随机生成的数nnn，求∑i=1noneness(i)\sum_{i=1}^noneness(i)i=1∑noneness(i)

解题思路

转换一下题意就是求∑i=2l⌊n10i−19⌋=∑i=2l⌊9n10i−1⌋\sum_{i=2}^l\lfloor\frac{n}{\frac{10^i-1}{9}}\rfloor=\sum_{i=2}^l\lfloor\frac{9n}{10^i-1}\rfloori=2∑l⌊910i−1n⌋=i=2∑l⌊10i−19n⌋
先让nnn乘上999，然后把每一位的贡献拆成小数和整数部分，我们先来看整数部分

首先对于一个k∗10i10j−1\frac{k*10^i}{10^j-1}10j−1k∗10i那么它的值应该是在第i−xj+1(x∈N)i-xj+1(x\in N)i−xj+1(x∈N)位会有一个kkk。（如109999=1001001.001001001001001001001001\frac{10^9}{999}=1001001.001001001001001001001001999109=1001001.001001001001001001001001）

然后我们看这题，jjj是1∼n1\sim n1∼n的每一个值，那么对于每第iii位我们拆成k∗10ik*10^ik∗10i会对第i−xi-xi−x位产生σ0(x)\sigma_0(x)σ0(x)次贡献（σ0(x)\sigma_0(x)σ0(x)表示xxx的约数个数）。设aia_iai表示第iii位的数，fif_ifi表示第iii位的答案，那么有式子fi=∑j=0∞ai+jσ0(j)f_i=\sum_{j=0}^{\infty}a_{i+j}\sigma_0(j)fi=j=0∑∞ai+jσ0(j)
这个式子可以先预处理出σ0(j)\sigma_0(j)σ0(j)然后把aaa反过来就是一个卷积的式子，FFTFFTFFT优化即可。

对于小数部分，因为在比较后的位数的产生贡献概率极小，又因为数字随机生成，所以我们直接将这些部分省略。我们只处理到小数的121212位，和上面同理算出每一个小数位的贡献即可。

时间复杂度O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)

codecodecode

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10;
const double Pi=acos(-1);
struct complex{double x,y;complex(double xx=0,double yy=0){x=xx;y=yy;return;}
}x[N],y[N];
ll n,m,r[N],a[N],d[N],b[N],f[N];
unsigned int sed;
complex operator+(complex x,complex y)
{return complex(x.x+y.x,x.y+y.y);}
complex operator-(complex x,complex y)
{return complex(x.x-y.x,x.y-y.y);}
complex operator*(complex x,complex y)
{return complex(x.x*y.x-x.y*y.y,x.x*y.y+x.y*y.x);}
void fft(complex *f,ll op){for(ll i=0;i<m;i++)if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=m;p<<=1){ll len=p>>1;complex tmp(cos(Pi/len),op*sin(Pi/len));for(ll k=0;k<m;k+=p){complex buf(1,0);for(ll i=k;i<k+len;i++){complex tt=f[i+len]*buf;f[i+len]=f[i]-tt;f[i]=f[i]+tt;buf=buf*tmp;}}}return;
}
void solve(){m=1;ll lg=0;for(;m<=2*n;m<<=1);for(ll i=0;i<=m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);for(ll i=1;i<=n;i++)x[i]=complex(a[n-i+1],0),y[i]=complex(d[i],0);fft(x,1);fft(y,1);for(ll i=0;i<m;i++)x[i]=x[i]*y[i];fft(x,-1);for(ll i=0;i<m;i++)f[i]=(int)(x[i].x/(double)m+0.5);return;
}
int main()
{scanf("%lld%u",&n,&sed);for(ll i=1;i<=n;i++){a[i]=sed/1024%10;sed=sed*747796405u-1403630843u;}reverse(a+1,a+n+1);ll g=0;for(ll i=1;i<=n;i++){a[i]=a[i]*9+g;g=a[i]/10;a[i]%=10;}if(g)a[++n]=g;for(ll i=2;i<=n;i++)for(ll j=i;j<=n;j+=i)d[j]++;solve();reverse(f+1,f+n+1);ll pw[11];pw[0]=1;for(ll i=1;i<=10;i++)pw[i]=pw[i-1]*10;for(ll i=2;i<=10;i++){ll S=0;for(ll j=1;j<=n;j+=i)for(ll k=1;k<=i;k++)S+=a[j+k-1]*pw[k-1];f[1]+=S/(pw[i]-1); }for(ll i=11;i<=n;i++){for(ll j=1;j<=12;j++)b[j]=0;for(ll j=1;j<=n;j+=i)for(ll k=1;k<=11;k++)b[k]+=a[j+i+k-12];for(ll j=1;j<=11;j++){b[j+1]+=b[j]/10;b[j]%=10;}f[1]+=b[12];}for(ll i=1;i<=n;i++){f[i+1]+=f[i]/10;f[i]%=10;}while(!f[n])n--;while(n)printf("%lld",f[n--]);return 0;
}

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