【机器学习】逻辑回归模型

应用场景

推荐系统：分析购买某类商品的潜在因素，判断该类商品的购买概率。挑选购买过的人群A和未购买的人群B，获取两组人群不同的用户画像和行为特征数据。建立用户行为模型、商品推荐模型实现产品的自动推荐。

公式

对于二分类问题，给定训练集{(x1, y1), …, xn,yn)}，其中xi表示第i个用户的p维特征，yi∈{0,1}表示第i个用户是否购买过该商品。

模型满足二项式分布：
P(yi∣xi)=u(xi)y(1−u(xi))(1−yi)P(y_{i}|x_{i})=u(x_{i})^y(1-u(x_{i}))^{(1-y_{i})}P(yi∣xi)=u(xi)y(1−u(xi))(1−yi)
u(xi)=11+(e−xiTθ)u(x_i)=\tfrac{1}{1+(e^{-x_i^T\theta})}u(xi)=1+(e−xiTθ)1
其中，θ为模型参数，包含该商品的偏置项。
通过最大似然估计来求解：
L=P(y1,...,yn∣x1,...,xn;θ)=∏i=1nP(yi∣xi;θ)=∏i=1nu(xi)yi(1−u(xi)1−yi)L=P(y_1,...,y_n|x_1,...,x_n;\theta) =\prod_{i=1}^{n}P(y_i|x_i;\theta) =\prod_{i=1}^{n}u(x_i)^{y_i}(1-u(x_i)^{1-y_i}) L=P(y1,...,yn∣x1,...,xn;θ)=i=1∏nP(yi∣xi;θ)=i=1∏nu(xi)yi(1−u(xi)1−yi)
进一步可以得到负对数似然函数：
L(θ)=−logP(y1,...,yn∣x1,...,xn;θ,b)=−∑in((yilogu(xi))+(1−yi)log(1−u(xi)))L(\theta)=-logP(y_1,...,y_n|x_1,...,x_n;\theta,b) =-\sum_{i}^{n}((y_ilogu(x_i))+(1-y_i)log(1-u(x_i))) L(θ)=−logP(y1,...,yn∣x1,...,xn;θ,b)=−i∑n((yilogu(xi))+(1−yi)log(1−u(xi)))
采用随机梯度下降法来求解数值：
θ=argminθ∑in(yilogu(xi)+(1−yi)log(1−u(xi)))\theta=argmin_{\theta}\sum_{i}^{n}(y_ilogu(x_i)+(1-y_i)log(1-u(x_i))) θ=argminθi∑n(yilogu(xi)+(1−yi)log(1−u(xi)))
对参数θ求导得到：
∂L∂θ=∑in(g(xiTθ)−yi)xi\frac{\partial L}{\partial \theta}=\sum_{i}^{n}(g(x_i^T\theta)-y_i)x_i ∂θ∂L=i∑n(g(xiTθ)−yi)xi
g(x)=11−e−xg(x)=\tfrac{1}{1-e^{-x}} g(x)=1−e−x1
进一步可以得到：
θt+1=θt−ρ(g(xiTθ)−yi)xi\theta^{t+1}=\theta^{t}-\rho (g(x_i^T\theta)-y_i)x_i θt+1=θt−ρ(g(xiTθ)−yi)xi
其中，0<ρ<1是步长参数。

代码实现

损失函数的定义，正则化防止过拟合
loss=−1m[∑i=1m(yilog(uθ(xi))+(1−yi)log(1−uθ(xi)))]+λ12m∑j=1nθj2loss=-\tfrac{1}{m}[\sum_{i=1}^{m}(y_ilog(u_\theta(x_i))+(1-y_i)log(1-u_\theta(x_i)))]+\lambda\tfrac{1}{2m}\sum_{j=1}^{n}\theta_j^2 loss=−m1[i=1∑m(yilog(uθ(xi))+(1−yi)log(1−uθ(xi)))]+λ2m1j=1∑nθj2

import random
import numpy as np
class LogisticRegression(object) :def __init__(self, x, y, lr=0.0005, lam=0.1):'''x: features of examplesy: label of exampleslr: learning ratelambda: penality on theta'''self.x = xself.y = yself.lr = lrself.lam = lamn = self.x.shapeself.theta = np.array ([0.0] * (n + 1))def _sigmoid (self , x) :z = 1.0/(1.0 + np.exp((-1) * x))return zdef loss_function (self):u = self._sigmoid(np.dot(self.x, self.theta)) # u(xi)c1 = (-1) * self.y * np.log (u)c2 = (1.0 - self.y) * np.log(1.0 - u)# 计算交叉熵 L(θ)求均值loss = np.average(sum(c1 - c2) + 0.5 * self.lam * sum(self.theta[1:] ** 2))return lossdef _gradient(self, iterations) :# m是样本数, p是特征数m, p = self.x.shapefor i in range(0, iterations):u = self._sigmoid(np.dot(self.x, self.theta))diff = self.theta - self.yfor _ in range(0, p):self.theta[_]= self.theta[_] - self.lr * (1.0 / m) * (sum(diff * self.x [:, _]) + self.lam * m * self.theta[_])cost= self.loss_function()def run(self, iteration):self. _gradient(iteration)def predict(self, x):preds = self._sigmoid(np.dot(x, self.theta))np.putmask (preds, preds >= 0.5, 1.0)np.putmask (preds, preds < 0.5, 0.0)return preds

参考文献

《推荐系统与深度学习》黄昕等