分段线性变换与直方图修正

本文主要包括以下内容

分段线性变换
两种实用的直方图修正技术:直方图均衡化和直方图规定化
本章的典型案例分析
- 基于直方图均衡化的图像灰度归一化
- 直方图匹配

分段线性变换

分段线性变换有很多种，包括灰度拉伸、灰度窗口变换等，本节仅讲述最为常用的灰度拉伸．

利用分段线性变换函数来增强图像对比度的方法实际是增强原图各部分的反差，即增强输入图像中感兴趣的灰度区域，相对抑制那些不感兴趣的灰度区域。分段线性函数的主要优势在于它的形式可任意合成，而其缺点是需要更多的用户输入．

分段的灰度拉伸可以更加灵活地控制输出灰度直方图的分布，可以有选择的拉伸某段灰
度区间以改善输出图像。如果一幅图像灰度集中在较暗的区域而导致图像偏暗，我们可以用
灰度拉伸功能来扩展（斜率＞1）物体灰度区间以改善图像：同样，如果图像灰度集中在较亮
的区域而导致图像偏亮，也可以用灰度拉伸功能来压缩〈斜率＜1)物体灰度区间以改善图像
质量。

灰度拉伸是通过控制输出图像中灰度级的展开程度来达到控制对比度的效果。一般情况
下都限制x1<x2,y1<y2x_1，从而保证函数单调递增，以避免造成处理过的图像中灰度级发生颠倒．

matlab实现

function out = imgrayscaling(varargin)
% IMGRAYSCALING     执行灰度拉伸功能
%   语法：
%       out = imgrayscaling(I, [x1,x2], [y1,y2]);
%       out = imgrayscaling(X, map, [x1,x2], [y1,y2]);
%       out = imgrayscaling(RGB, [x1,x2], [y1,y2]);
%   这个函数提供灰度拉伸功能，输入图像应当是灰度图像，但如果提供的不是灰度
%   图像的话，函数会自动将图像转化为灰度形式。x1，x2，y1，y2应当使用双精度
%   类型存储，图像矩阵可以使用任何MATLAB支持的类型存储。[A, map, x1 , x2, y1, y2] = parse_inputs(varargin{:});% 计算输入图像A中数据类型对应的取值范围
range = getrangefromclass(A);
range = range(2);% 如果输入图像不是灰度图，则需要执行转换
if ndims(A)==3,% A矩阵为3维，RGB图像A = rgb2gray(A);
elseif ~isempty(map),% MAP变量为非空，索引图像A = ind2gray(A,map);
end % 对灰度图像则不需要转换% 读取原始图像的大小并初始化输出图像
[M,N] = size(A);
I = im2double(A);       % 将输入图像转换为双精度类型
out = zeros(M,N);% 主体部分，双级嵌套循环和选择结构
for i=1:Mfor j=1:Nif I(i,j)<x1out(i,j) = y1 * I(i,j) / x1;elseif I(i,j)>x2out(i,j) = (I(i,j)-x2)*(range-y2)/(range-x2) + y2;elseout(i,j) = (I(i,j)-x1)*(y2-y1)/(x2-x1) + y1;endend
end% 将输出图像的格式转化为与输入图像相同
if isa(A, 'uint8') % uint8out = im2uint8(out);
elseif isa(A, 'uint16')out = im2uint16(out);
% 其它情况，输出双精度类型的图像
end% 输出:
if nargout==0 % 如果没有提供参数接受返回值imshow(out);return;
end
%-----------------------------------------------------------------------------
function [A, map, x1, x2, y1, y2] = parse_inputs(varargin);
% 这就是用来分析输入参数个数和有效性的函数parse_inputs
% A       输入图像，RGB图 (3D), 灰度图 (2D), 或者索引图 (X)
% map     索引图调色板 (:,3)
% [x1,x2] 参数组 1，曲线中两个转折点的横坐标
% [y1,y2] 参数组 2，曲线中两个转折点的纵坐标
% 首先建立一个空的map变量，以免后面调用isempty(map)时出错
map = [];%   IPTCHECKNARGIN(LOW,HIGH,NUM_INPUTS,FUNC_NAME) 检查输入参数的个数是否
%   符合要求，即NUM_INPUTS中包含的输入变量个数是否在LOW和HIGH所指定的范围
%   内。如果不在范围内，则此函数给出一个格式化的错误信息。
iptchecknargin(3,4,nargin,mfilename);%   IPTCHECKINPUT(A,CLASSES,ATTRIBUTES,FUNC_NAME,VAR_NAME, ARG_POS) 检查给定
%   矩阵A中的元素是否属于给定的类型列表。如果存在元素不属于给定的类型，则给出
%   一个格式化的错误信息。
iptcheckinput(varargin{1},...{'uint8','uint16','int16','double'}, ...{'real', 'nonsparse'},mfilename,'I, X or RGB',1);switch nargincase 3 %            可能是imgrayscaling(I, [x1,x2], [y1,y2]) 或 imgrayscaling(RGB, [x1,x2], [y1,y2])A = varargin{1};x1 = varargin{2}(1);x2 = varargin{2}(2);y1 = varargin{3}(1);y2 = varargin{3}(2);case 4A = varargin{1};%               imgrayscaling(X, map, [x1,x2], [y1,y2])map = varargin{2};x1 = varargin{2}(1);x2 = varargin{2}(2);y1 = varargin{3}(1);y2 = varargin{3}(2);
end% 检测输入参数的有效性
% 检查RGB数组
if (ndims(A)==3) && (size(A,3)~=3)   msg = sprintf('%s: 真彩色图像应当使用一个M-N-3维度的数组', ...upper(mfilename));eid = sprintf('Images:%s:trueColorRgbImageMustBeMbyNby3',mfilename);error(eid,'%s',msg);
endif ~isempty(map)
% 检查调色板if (size(map,2) ~= 3) || ndims(map)>2msg1 = sprintf('%s: 输入的调色板应当是一个矩阵', ...upper(mfilename));msg2 = '并拥有三列';eid = sprintf('Images:%s:inColormapMustBe2Dwith3Cols',mfilename);error(eid,'%s %s',msg1,msg2);elseif (min(map(:))<0) || (max(map(:))>1)msg1 = sprintf('%s: 调色板中各个分量的强度 ',upper(mfilename));msg2 = '应当在0和1之间';eid = sprintf('Images:%s:colormapValsMustBe0to1',mfilename);error(eid,'%s %s',msg1,msg2);end
end% 将int16类型的矩阵转换成uint16类型
if isa(A,'int16')A = int16touint16(A);
end

调用

I = imread('coins.png');
J1 = imgrayscaling(I,[0.3,0.75],[0.15,0.85]);
figure,imshow(J1,[]);
J2 = imgrayscaling(I,[0.15,0.85],[0.3,0.7]);
figure,imshow(J2,[]);

从图中可以看出，第一组参数让图像灰度直方图上的非零区域扩展，而第二
组参数让图像的灰度直方图非零区域压缩，这给目标图像带来了截然不同的效果。第一幅图
像中的细节更加清晰，而第二幅图像更加柔和。

直方图均衡化

直方图均衡化又称灰度均衡化．是指通过某种灰度映射使输入图像转换为在每一灰度级上都有近似相同的像素点数的输出图像（即输出的直方图是均匀的〉。在经过均衡化处理后的图像中，像素将占有尽可能多的灰度级并且分布均匀．因此，这样的图像将具有较高的对比度和较大的动态范围。

为了便于分析，首先考虑灰度范围为0～1且连续的情况。此时图像的归一化直方图即为概率密度函数（PDF):

直方图均衡化的数学原理:直方图均衡化原理及编码实现
这个推导很详细，是我看过最清楚明白的一个。

直方图均衡化的作用是图像增强
有两个问题比较难懂，一是为什么要选用累积分布函数，二是为什么使用累积分布函数处理后像素值会均匀分布。
参见：直方图均衡化原理

matlab实现

下面的程序在读入了图像pout.tif后，分别对其进行了增加对比度，减小对比度，线性增加亮度和线性减小亮度的处理，得到了原图像的4个灰度变化版本；接着又分别对这4副图像进行了立方图均衡化处理并显示了它们在处理前、后的直方图．

I = imread('pout.tif');
I = im2double(I);I1 = 2*I - 55/255;
subplot(4,4,1);
imshow(I1);
subplot(4,4,2);
imhist(I1);
subplot(4,4,3);
imshow(histeq(I1));
subplot(4,4,4);
imhist(histeq(I1));I2 = 0.5*I + 55/255;
subplot(4,4,5);
imshow(I2);
subplot(4,4,6);
imhist(I2);
subplot(4,4,7);
imshow(histeq(I2));
subplot(4,4,8);
imhist(histeq(I2));I3 = I + 55/255;
subplot(4,4,9);
imshow(I3);
subplot(4,4,10);
imhist(I3);
subplot(4,4,11);
imshow(histeq(I3));
subplot(4,4,12);
imhist(histeq(I3));I4 = I - 55/255;
subplot(4,4,13);
imshow(I4);
subplot(4,4,14);
imhist(I4);
subplot(4,4,15);
imshow(histeq(I4));
subplot(4,4,16);
imhist(histeq(I4));

直方图规定化

直方图均衡化算法可以自动确定灰度变换函数，从而获得具有均匀直方图的输出图像。它主要用于增强动态范围偏小的图像对比度，丰富图像的灰度级。这种方法的优点是操作简单，且结果可以预知，当图像需要自动增强时是一种不错的选择。

但有时用户也希望可以对变换过程加以控制，如能够人为地修正直方图的形状，或者说获得具有指定直方图的输出图像．．这样就可以有选择地增强某个灰度范围内的对比度或使图
像灰度值满足某种特定的分布这种用于产生具有特定直方图图像的方法叫做直方图规定化，或直方图匹配．

直方图规定化是在运用均衡化原理的基础上，通过建立原始图像和期望图像〈待匹配直方图的图像〉之间的关系，使原始图像的直方图匹配特定的形状，从而弥补直方图均衡不具备交互作用的特性。

直方图规定化增强处理的步骤如下：
1，其增强原理是先对原始的直方图均衡化：S = T(r)
2，同时对规定的直方图均衡化：v = G(z)
3，由于都是均衡化，故令 S = v，则：z=G−1(v)=G−1[T(r)]z = G^{-1}(v) = G^{-1}[T(r)] 。

当然，在实际计算中我们利用的是上述公式的离散形式，这样就不必去关心函数只f(r），g(z)
以及反变换函数g的具体解析形式，而可以直接将它们作为映射表处理。其中， f(r）为输入
图像均衡化的离散灰度级映射关系， g(z）为标准图像均衡化的离散灰度级映射关系，而g
则是标准图像均衡化的逆映射关系，它给出了从经过均衡化处理的标准化图像到原标准图像
的离散灰度映射，相当于均衡化处理的逆过程。

matlab实现
histeq函数不仅可以用于直方图均衡化，也可以用于直方图规定化，此时需要提供可选
参数hgram. 调用语法为:
[J, T]=histeq(I, hgram)

函数会将原始图像I处理成一幅以用户指定向量hgram作为直方图的图像。
参数hgram的分量数目即为直方图的收集箱数目。对于double型图像，hgram的元素取
值范围是［O, 1）：对于uint8型图像为［O, 255）：对于uint16型图像则为（0, 65535）。
其他参数的意义与在直方圈均衡化中的相同。

I = imread('pout.tif');
I1 = imread('coins.png');
I2 = imread('circuit.tif'); [hgram1,x]=imhist(I1);
[hgram2,x]=imhist(I2);J1 = histeq(I,hgram1);
J2 = histeq(I,hgram2);subplot(2,3,1);
imshow(I);title('原图');
subplot(2,3,2);
imshow(I1);title('标准图1');
subplot(2,3,3);
imshow(I2);title('标准图2');
subplot(2,3,5);
imshow(J1);title('规定化到1');
subplot(2,3,6);
imshow(J2);title('规定化到2');figure;subplot(2,3,1);
imhist(I);title('原图');
subplot(2,3,2);
imhist(I1);title('标准图1');
subplot(2,3,3);
imhist(I2);title('标准图2');
subplot(2,3,5);
imhist(J1);title('规定化到1');
subplot(2,3,6);
imhist(J2);title('规定化到2');

直方图规定化本质上是一种拟合过程，因此变换得到的直方图与标准目标图像的直方图并不会完全一致。然而即使只是相似的拟合，仍然使规定化的图像在亮度与对比度上具有类似标准图像的特性，这正是直方图规定化的目的所在．