数学狂想曲(八)——核弹当量问题, Lanchester战争模型, 随机过程
核弹当量问题
核弹爆炸由于是个复杂的过程,因此就有了爆炸火球半径、辐射半径、冲击波半径以及热辐射半径等不同的威力评价标准。
具体的介绍可参见:
https://www.zhihu.com/question/20134458
一颗核弹的破坏性有多大?
这里给出几组数据:
名称 | 当量 | 火球半径 | 冲击波半径 |
---|---|---|---|
1945年胖子 | 20kt | 200m | 1.91km |
1966年B61 | 340kt | 630m | 4.91km |
1986年W87 | 300kt | 600m | 4.71km |
“另外再帮你算算哦,把B61的34万和胖子的2万都开根号,两者比值是4.11,然而,胖子的火球半径200米乘4.1貌似是820米,怎么B61才630米呢?5psi的冲击波半径1.91千米乘4.1貌似是7.83千米哦,怎么B61才4.91呢?不是说好了技术进步威力更大的吗”
上面是贴吧某博主用以佐证自己观点的论据。然而,这显然错误的。
冲击波是空气被压缩导致的。而空气可以看做麦克思韦子,它的压力是由单位体积内的粒子能量决定的。因此,如果当量E可以产生R半径的空气压缩球的话,要产生2R的压缩球,势必需要将E提升8倍才行。
而火球半径就要麻烦一些了。
一方面,辐射的光子是玻色子,它不占空间,能量可叠加,且不改变传播方向。从点光源的波动模型可以知道,波前能量如果没有衰减的话,R球面的能量和2R球面的能量相等,但2R球面的面积是前者的4倍,因此如果要维持能量密度的话,E提升4倍即可。
另一方面,辐射源需要维持一定的温度才能释放可见光,而温度也就是粒子平均动能,正如上面冲击波半径的推导,E和R的立方成正比。
所以,火球半径中E和R的关系,显然在2和3之间。实际上,它的理论值就是2.5,其推导过程如下:
http://www.applet-magic.com/fireball.htm
The Expansion of the Fireball of an Explosion
实测值2.46和理论值符合的非常好。
这里的推导和热力学统计其实没多大关系,算是本人学习玻尔兹曼分布的副产品吧。
Lanchester战争模型
第一次世界大战期间,英国工程师Lanchester针对战争问题建模,以预测战争的结果。
Frederick William Lanchester,1868~1946,被誉为英国三大最杰出的汽车工程师之一。英国皇家学会会员。
该模型包含了两个子模型:
Lanchester’s linear law:假设双方的装备能力相当,则单位时间内的损失,和战线的长度成正比,且双方损失的数量相等。这个模型主要适用于远程兵器威力有限的古代战争,古代战争以短兵相接的肉搏战为主。而肉搏战的特点就是一对一。
Lanchester’s square law:现代战争越来越立体化,因此是个多对多的模型。
首先,我们假设A军在战斗开始后的t时刻有x(t)x(t)x(t)人,B军在战斗开始后的t时刻有y(t)y(t)y(t)人,且每支军队的减员均由敌方攻击造成,减员速率与敌方人数成正比。忽略增员部队与非战斗减员,我们可以根据双方的减员速率列出如下的微分方程组:
(1)dxdt=−by\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-by\tag{1}dtdx=−by(1)
(2)dydt=−cx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-cx\tag{2}dtdy=−cx(2)
在上述微分方程组中,b与c分别代表B军与A军的单兵作战效率,即每个战士在单位时间内干掉的敌军数量。我们可以用这个量来代表士兵的“质量”或“效率”,显然这个量与军队的武器水平,指挥员的指挥水平与战士的单兵素质有关。
用公式2除以公式1,得:
dydtdxdt=−cx−by\cfrac{\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{-cx}{-by}dtdxdtdy=−by−cx
dydx=cxby\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{cx}{by}dxdy=bycx
bydy=cxdxby\mathrm{d}y=cx\mathrm{d}xbydy=cxdx
两边同时求t的定积分:
∫t0tby(t)dy(t)=∫t0tcx(t)dx(t)\int_{t_0}^t by(t)\mathrm{d}y(t)=\int_{t_0}^t cx(t)\mathrm{d}x(t)∫t0tby(t)dy(t)=∫t0tcx(t)dx(t)
b∫y0yydy=c∫x0xxdxb\int_{y_0}^y y\mathrm{d}y=c\int_{x_0}^x x\mathrm{d}xb∫y0yydy=c∫x0xxdx
by2−by02=cx2−cx02by^2-by_0^2=cx^2-cx_0^2by2−by02=cx2−cx02
by2−cx2=by02−cx02=Kby^2-cx^2=by_0^2-cx_0^2=Kby2−cx2=by02−cx02=K
我们可以由b,c,与双方初始人数y0,x0y_0,x_0y0,x0计算出K值。显然:
当K=0时,A、B平手。
当K>0时,B胜。
当K<0时,A胜。
Lanchester模型是一个连续模型,但实际战斗,尤其是海战,一般是离散模型,这时就要用到Salvo combat model了。
比如中途岛战役,美国在击沉日本3艘航母之后,遭到日本飞龙号的反击,损失了约克城号,直到第二波攻击,才最终将飞龙号击沉。
参考:
https://mp.weixin.qq.com/s/npprTz_GRgdv3BK7ff2grg
Lanchester战争模型:用可分离变量的微分方程占卜战事
随机过程
随机变量序列的收敛性
弱收敛:Fn(x)→WF(x)F_n(x)\xrightarrow{W}F(x)Fn(x)WF(x)
依分布收敛:Xn→LXX_n\xrightarrow{L}XXnLX
依概率收敛:Xn→PXX_n\xrightarrow{P}XXnPX
r阶收敛:Xn→rXX_n\xrightarrow{r}XXnrX
几乎处处收敛(almost everywhere convergent):Xn→a.e.XX_n\xrightarrow{a.e.}XXna.e.X or Xn→a.s.XX_n\xrightarrow{a.s.}XXna.s.X
一致收敛(uniform convergence):Xn→u.c.XX_n\xrightarrow{u.c.}XXnu.c.X
以上概念实际上都是测度论的内容。具体到这里,弱收敛针对分布函数F,而其他收敛针对随机变量X。
收敛严格性:
Xn→PX⊇Xn→LXX_n\xrightarrow{P}X \supseteq X_n\xrightarrow{L}XXnPX⊇XnLX
Xn→rX⊇Xn→PXX_n\xrightarrow{r}X \supseteq X_n\xrightarrow{P}XXnrX⊇XnPX
Xn→a.s.X⊇Xn→PXX_n\xrightarrow{a.s.}X \supseteq X_n\xrightarrow{P}XXna.s.X⊇XnPX
大数定律:
依概率收敛->弱大数定律
几乎处处收敛->强大数定律
随机过程常用公式或符号
名称 | 公式或符号 |
---|---|
期望 | EX=∫−∞+∞xdF(x)EX=\int_{-\infty}^{+\infty}x\mathrm{d}F(x)EX=∫−∞+∞xdF(x),若存在密度函数则EX=∫−∞+∞xf(x)dxEX=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\mathrm{d}xEX=∫−∞+∞xf(x)dx |
方差 | DX=Var(X)=E(X−EX)2DX=Var(X)=E(X-EX)^2DX=Var(X)=E(X−EX)2 |
协方差 | Cov(X,Y)=E{[X−E(X)]‾[Y−E(Y)]}Cov(X,Y)=E\{\overline{[X-E(X)]}[Y-E(Y)]\}Cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]} |
相关系数 | ρXY=Cov(X,Y)D(X)D(Y)\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}ρXY=D(X)D(Y)Cov(X,Y) |
协方差矩阵 | [Cov(X1,X1)Cov(X1,X2)⋯Cov(X1,Xn)Cov(X2,X1)Cov(X2,X2)⋯Cov(X2,Xn)⋮⋮⋮Cov(Xn,X1)Cov(Xn,X2)⋯Cov(Xn,Xn)]\left[\begin{array}{ccc} Cov(X_1,X_1)&Cov(X_1,X_2)&\cdots&Cov(X_1,X_n)\\Cov(X_2,X_1)&Cov(X_2,X_2)&\cdots&Cov(X_2,X_n)\\ \vdots&\vdots&&\vdots \\Cov(X_n,X_1)&Cov(X_n,X_2)&\cdots&Cov(X_n,X_n)\end{array}\right]⎣⎢⎢⎢⎡Cov(X1,X1)Cov(X2,X1)⋮Cov(Xn,X1)Cov(X1,X2)Cov(X2,X2)⋮Cov(Xn,X2)⋯⋯⋯Cov(X1,Xn)Cov(X2,Xn)⋮Cov(Xn,Xn)⎦⎥⎥⎥⎤ |
相关函数 | R(X,Y)=E[X‾Y]R(X,Y)=E[\overline{X}Y]R(X,Y)=E[XY] |
均方极限 | l.i.mn→+∞X{l.i.m}_{n \to +\infty}Xl.i.mn→+∞X |
https://mp.weixin.qq.com/s/46NrpIako2lJ2ZitAQs8Sw
划重点!通俗解释协方差与相关系数
http://pinkyjie.com/2010/08/31/covariance/
浅谈协方差矩阵
平稳过程
严平稳过程:有限维分布。
宽平稳过程:二阶矩。
不要被名字迷惑了,由于两者关注的东西不同,一般情况下,严平稳过程不一定是宽平稳过程,宽平稳过程也不一定是严平稳过程。
只有以下特例:
1.对于二阶矩过程,严平稳过程一定是宽平稳过程。
2.对于正态过程,严平稳过程和宽平稳过程是等价的。
大数定律与中心极限定理
大数定律
切比雪夫大数定律:用统计方法来估计期望的理论依据。
E(X)≈1n∑k=1nxkE(X)\approx \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_kE(X)≈n1k=1∑nxk
贝努利大数定律:事件A发生的频率nAn\frac{n_A}{n}nnA依概率收敛于事件A的概率p。当n很大时,事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小:p≈nAnp\approx \frac{n_A}{n}p≈nnA
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