基于配电网络特有的层次结构特性，论文提出了一种新颖的分层前推回代算法。该算法将网络支路按层次进行分类，并分层并行计算各层次的支路功率损耗和电压损耗，因而可大幅度提高配电网潮流的计算速度。论文在MATLAB环境下，利用其快速的复数矩阵运算功能，实现了文中所提的分层前推回代算法，并取得了非常明显的速度效益。另外，论文还讨论发现，当变压器支路阻抗过小时，利用Π型模型会产生数值巨大的对地导纳，由此会导致潮流不收敛。为此，论文根据理想变压器对功率和电压的变换原理，提出了一种有效的电压变换模型来处理变压器支路，从而改善了潮流算法的收敛特性。基于IEEE40节点的配电网算例系统和1338节点的实际系统进行了仿真计算，结果表明：该文算法具有速度快、收敛可靠的明显优点。由于辐射型网络结构的特殊性，有许多学者致力于开发结合其特点的潮流算法，目前具有代表性的有直接求解法[1]，改进牛拉法[2]，前推回代法[3~6]等。文[1]提出了一种从电源|稳压器直接到各负荷点的回路电流法，由于电源电压和负荷注入电流为已知量，就可以不需迭代直接求解线性潮流方程，但却要对节点和支路进行复杂的编号处理，把网络结构改造成统一的标准结构。文[2]提出一种形成节点导纳矩阵的方法，使得牛顿法的消去过程和回代过程更简洁，但是这种节点导纳矩阵要基于对节点的优化编号。文[3]提出在根节点处增加虚拟零阻抗支路和按规律对节点和支路编号的方法，使网络的节点-支路关联矩阵成为有一定特色的方阵，从而提高了配电网潮流的前推回代速度。比较而言，前推回代法具有方法简单，计算速度快的优点，是较为普遍使用的辐射型网络潮流算法。但是目前的算法在功率前推和电压回代时都需要对每条支路的功率损耗和电压损耗进行逐个递推计算，不能并行进行，因而影响了潮流的计算速度。另外，高压网络的潮流收敛问题常常引起人们的注意[7]，而配电网潮流的类似问题却很少有文献讨论。实际中，当三绕组变压器采用常规的P型等值模型时，常常会出现前推回代法不收敛的现象。针对以上两个问题，本文进行了深入的研究，并提出了一种配电网潮流的分层前推回代算法和变压器支路的电压变换模型，以改进潮流的收敛性，提高其计算速度。

2  网络层次分析

对于辐射型网络，前推回代法的基本原理是：① 假定节点电压不变，已知网络末端功率，由网络末端向首端计算支路功率损耗和支路功率，得到根节点注入功率；② 假定支路功率不变，已知根节点电压，由网络首端向末端计算支路电压损耗和节点电压。前推时，每条支路的功率都由该支路的下一层支路功率决定，回代时，节点电压都由上一层节点决定。这种特点一方面限制了不同层次间的功率前推和电压回代不能同时进行，另一方面也说明同一层次的支路功率之间没有前后关联，因此同一层次内完全可以实现功率或电压的并行计算。尤其对于大规模辐射型网络，由于分层数显著少于支路总数，所以分层后能够充分发挥并行计算的优势，提高计算速度。

以一个简单的11节点树状网为例，其节点和支路编号采用与网络结构无关的自然编号(即从1开始的自然数顺序编号)，在这个网络中，支路1、2、5属于同一层次，当计算支路功率损耗和电压损耗时，彼此不相关，可以并行计算。同样，支路3、4、6、7、8、10也属同一层，其功率损耗和电压损耗也可以并行计算。这样，根据图1网络的拓扑结构，可以直观地看到网络支路共分为3层，且可以知道每一层的支路情况以及每一支路的送端节点和受端节点情况。显然，只要了解了这些信息，就能够分层实现功率前推和电压回代的并行计算，而且无需对节点和支路重新编号。

为了描述以上的网络层次信息，定义如下：

(1)网络层次矩阵L：

设网络分为Li层，每层包含的支路数最多为M，则网络层次矩阵L是1个(Li´M)矩阵，第i行的非零元素就是网络第i层包含的支路编号，非零元素的个数就是该层包含的支路数。从L1层到Li层代表了功率流动的方向，前推时从Li层到L1层，回代时从 L1层到 Li层。

(2)支路送端节点矩阵f和受端节点矩阵t：

由于原始数据中支路的首节点到末节点的方向不一定就是功率流向，因此必须根据功率方向来确定支路的送端节点和受端节点。每条支路上的功率都由该支路的送端流向受端，支路送端节点矩阵和受端节点矩阵都是一维矩阵，元素个数等于支路数，第i个元素就是支路i的送端(受端)节点编号。

(3)支路层次关联矩阵C：

设网络支路数为N，支路层次关联矩阵为1个(N´N)的矩阵。矩阵第i行j列元素为1，表示支路i与支路j为上下层关系，它们直接相连，且支路i的上层支路是支路j，支路j的下层支路是支路i。当支路间没有这种直接的上下层次关系时，对应的元素为0。

在上述几个矩阵中，以网络层次矩阵描述整个网络的支路分层情况。支路送端节点矩阵和受端节点矩阵反映每条支路与送端、受端节点的关联关系。支路层次关联矩阵反映的是支路之间的直接上下层次关系。

下面介绍一下如何分析网络结构，以形成这几个矩阵：

(1)形成网络层次矩阵L、支路送端节点矩阵f和受端节点矩阵t。

进行网络层次分析时，首先形成节点-支路关联矩阵。若节点数为N，则辐射型网络的支路数必定为N-1，节点-支路关联矩阵是１个N´N-1矩阵。当节点i与支路j相连时，则关联矩阵的i行j列元素为1，不相连时，则该元素为0。由此形成的节点-支路关联矩阵，每一列有两个非零元素，其对应的行号就是该列支路的两端节点编号；每一行的非零元素对应的列号就是与该行节点相连的支路编号式中  行表示节点1~11；列表示支路1~10。

从根节点7，即矩阵A的第7行出发，仅找到第9列的元素为1，即节点7仅与支路9相连。与根节点相连的所有支路都属于第１层支路，且根节点为送端节点，所以第１层支路为支路9，支路9的送端节点为7，受端节点为支路9的另一端节点，即矩阵第9列上另一个非零元素对应的节点1，这就是网络的第1层分析。

从网络第1层支路的所有受端节点出发，与它们相连的其他所有支路属于第２层支路，第2层支路的送端节点为第1层支路的受端节点。从节点1出发，查找矩阵A第1行的元素，找到第1、2、5列元素为1，故第2层支路为支路1、2、5，它们的送端节点为节点1，受端节点分别为相应列上另一个非零元素对应的节点。依次查找下去，沿着矩阵A中的轨迹可以整理出整个网络的层次结构和每条支路的送端、受端节点，其中实线表示第1层分析轨迹，虚线表示第2层分析轨迹，点划线表示第三层分析轨迹。

网络层次分析以后，形成的网络层次矩阵L(行表示L1~L3层)、支路送端节点矩阵f和受端节点矩阵t(2)形成支路层次关联矩阵C。

除了第1层支路没有上层支路外，任意1条支路只有1条直接相连的上层支路，而且始终遵循这样的原则：该支路的送端节点就是与其直接相连的上层支路的受端节点。通过支路送端节点和受端节点矩阵，可以很容易地找到任意一条支路的直接上层支路，比如由支路送端节点矩阵f找到任意支路i的送端节点bi，然后由支路受端节点矩阵t找到受端节点为bi的支路j，这就意味着支路i的上一层支路为支路j，即矩阵的i行j列元素为1。

查找每条支路的直接上层支路，可形成支路层次关联矩阵，图1网络的支路层次关联矩阵C为式中  行表示节点1~10；列表示支路1~10。

从支路层次关联矩阵可以查找任意支路的上层支路和下层支路。如果需要查找支路j的上一层支路，只需要知道矩阵C的第j行为1的元素所在的列就可以了；同样，如果需要查找支路j的下一层支路，只需要知道矩阵C的第j列为1的元素所在的行就可以了。例如，从矩阵C的第1行可知支路1的上一层支路为支路9，从矩阵第2列可知支路2的下一层支路为支路6、7，等等。

3  变压器模型

当网络中存在变压器时，通常采用图2(b)所示的P型等值电路来等效图2(a)的变压器支路。但是，通过多次计算分析发现，当网络中存在三绕组降压变压器时，由于中压侧等效绕组的阻抗普遍很小(常常是很小的负阻抗)，所以当中压侧变比  时，将会产生很大的对地导纳，导致前推回代法不收敛。

下面以一简单的例子分析之，该例只有一个三绕组变压器的树状网络，高压端为根节点，中压和低压端接负荷，变压器型号为SFPZ9-180000/220 (220±8 ´1.25%/121/10.5, 180/180/90), 变压器参数为SB=100MVA；基准电压为220 kV / 110 kV /10kV; Y0 = 0.000748-j0.000799pu; VH = 1.05pu；SM = 0.09+ j0.03pu；SL =0.04-j0.04pu当三侧等效双绕组支路采用P型等值电路时，前推回代法不收敛。如果把中压侧的变比改为1，而阻抗不变, 或把中压侧的阻抗增大为低压侧或高压侧的阻抗，而变比不变，前推回代法都可以收敛。对同样的网络，我们又测试了其它型号的三绕组变压器，而且还改变了功率和电压，都得到同样的结论。所以可以确定不收敛的原因是中压侧的非标准变比和小阻抗联合作用产生的较大的对地导纳。

为了解决∏型等效模型产生的不收敛问题，本文根据理想变压器只改变电压、不改变传送功率的原理，提出了一种新的电压变换模型来处理变压器支路，并推导了在前推和回代时的公式，具体如下：

对于变压器支路，根据功率的流向，存在升压和降压两种方式，；4  分层前推回代法的主要步骤

同时考虑对地支路、线路支路、升压变压器和降压变压器支路的分层前推回代算法如下：

(1)功率前推

设支路受端计算电压V为式中  φ为与该支路相连的下层支路集合。

支路送端功率为

根据网络层次矩阵，从网络的第1层回代到第L层，逐层更新支路受端节点的电压，也即更新了下一层支路的送端节点电压。

式(5)~(10)中，Vf为支路送端节点电压；Vt为支路受端节点电压；由支路送端节点矩阵和受端节点矩阵可以容易得到；Y为支路受端节点对地导纳；S0为支路受端节点负荷；Z为支路阻抗；S¢是支路受端功率；S为支路送端功率；k为变压器支路变比；*表示共轭。

在MATLAB环境下，以上的功率前推和电压回代计算，都可以直接利用其快速的复数矩阵运算功能来实现。此时，式(5)~(10)中的变量都是复数的矩阵变量，它们可以直接进行相关的代数运算，其中，乘、除和乘方运算都使用点乘、点除和点乘方的方式，而取复数的共轭采用函数conj(·)。这样，只需简单的6句代码就可以实现式(5)~(10) 相应的潮流计算，代码量非常少，且相对单条支路功率前推和电压回代计算的循环实现方式，速度将会大幅度提高，且规模越大，速度提高的幅度越大。

5  算例

为了对比本文的分层前推回代法与文[3]的前推回代法，在MATLAB环境下进行了相应算法的程序编制，并分别以IEEE40节点树状网和一个实际的1338节点城市配电网络作为算例进行了计算，两种算法的计算结果完全一样，但分层前推回代法计算时间分别为0.03s和0.75s，文[3]的前推回代法计算时间分别为0.12s和91s。这显示出分层前推回代法在计算速度上的明显优势，并且网络规模越大，优势越显著。这是由于随着网络规模的增大，在供电半径的限制下网络层次不可能增大很多，因此相比较而言分层的效果更显著，例如IEEE40节点网络的39条支路分为10层，平均每层只有4条支路，而1338节点网络的1337条支路共分为38层，平均每层35条支路，最多的一层上有113条支路。

6  结论

利用辐射型网络同一层次之间的支路功率前推和电压回代相互独立的特点，本文提出了一种新颖的分层前推回代算法。该算法将网络支路按层次进行分类，并分层并行计算各层次的支路功率损耗和电压损耗，因而可大幅度提高配网潮流的计算速度。本文在MATLAB环境下，利用其快速的复数矩阵运算功能，实现了文中的分层前推回代算法，也取得了非常明显的速度效益。另外，本文还发现并讨论了当变压器支路阻抗过小时，利用Π型模型会产生数值巨大的对地导纳，由此会导致潮流不收敛。为此，本文根据理想变压器对功率和电压的变换原理，提出了一种有效的电压变换模型来处理变压器支路，从而改善了潮流算法的收敛特性。算例结果表明：该算法计算速度快、收敛性好，对于大规模辐射型网络，效果尤其明显。

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