3 数值实验与讨论
- 3.1 仿真数据
- - 3.1.1 GPS系统
  - 3.1.2 视觉系统
  - 3.1.3 进近和着陆操作
- 3.2 修正视觉伪距
- 3.3 性能指标
- - 3.3.1 可用性
  - 3.3.2 定位准确性
  - 3.3.3 时间成本
- 3.4 故障检测
- - 3.4.1 GPS故障
  - 3.4.2 视觉故障
4 结论
5 附录
6 参考文献

3 数值实验与讨论

本文设计了三个独立的数值实验来评估所提出方法的性能。第一个实验用来评估视觉伪距修正的性能。第二个实验是测试视觉辅助系统的可用性。最后将VA-RAIM算法与传统GPS RAIM算法进行对比，评价其故障检测性能。

3.1 仿真数据

由于进近和着陆阶段的真实飞行数据很难获得，因此采用了仿真数据来评估我们的方法的性能。仿真数据描述如下。

3.1.1 GPS系统

仿真中使用24颗卫星GPS星座对卫星观测进行模拟。伪距噪声遵循相同的不相关高斯分布，且对角协方差矩阵ΣG(k)\pmb{\Sigma}_{G(k)}ΣΣΣG(k)满足：
ΣG(k)(i,i)=σURA(k),i2+σtropo(k),i2+σuser(k),i2(27)\pmb{\Sigma}_{G(k)(i,i)}=\sigma^2_{URA(k),i}+\sigma^2_{tropo(k),i}+\sigma^2_{user(k),i} \tag{27} ΣΣΣG(k)(i,i)=σURA(k),i2+σtropo(k),i2+σuser(k),i2(27)
其中ΣG(k)(i,i)\pmb{\Sigma}_{G(k)(i,i)}ΣΣΣG(k)(i,i)是矩阵ΣG(k)\pmb{\Sigma}_{G(k)}ΣΣΣG(k)的第iii个对角元素，σURA(k),i\sigma_{URA(k),i}σURA(k),i是第iii颗卫星在kkk时刻的用户测距精度（URA），它设置为0.75米[28]。对流层延时误差σtropo(k),i\sigma_{tropo(k),i}σtropo(k),i建模如下，
σtropo(k),i=0.12×1.001/0.002001+sin(θi(k))2\sigma_{tropo(k),i}=0.12\times 1.001/\sqrt{0.002001+sin(\theta_{i}(k))^2} σtropo(k),i=0.12×1.001/0.002001+sin(θi(k))2
其中θi(k)\theta_i(k)θi(k)是第iii颗卫星的仰角。对于公式（27）中的其它项，根据[29]用户误差σuser(k),i\sigma_{user(k),i}σuser(k),i可以建模如下：
σuser(k),i=σMP2+σNoise2fL14+fL54/(fL12−fL52)\sigma_{user(k),i}=\sqrt{\sigma^2_{MP}+\sigma^2_{Noise}}\sqrt{f_{L1}^4+f_{L5}^4}/(f_{L1}^2-f_{L5}^2) σuser(k),i=σMP2+σNoise2fL14+fL54/(fL12−fL52)
其中σMP=0.13+0.53e−18θi(k)/π\sigma_{MP}=0.13+0.53e^{-18\theta_i(k)/\pi}σMP=0.13+0.53e−18θi(k)/π，σNoise=0.15+0.43e−180θi(k)/6.9/π\sigma_{Noise}=0.15+0.43e^{-180\theta_i(k)/6.9/\pi}σNoise=0.15+0.43e−180θi(k)/6.9/π，fL1=1575.42Hzf_{L1}=1575.42HzfL1=1575.42Hz，fL5=1176.45MHzf_{L5}=1176.45MHzfL5=1176.45MHz。通过手动设置故障伪距的偏置来保证完好性监测的性能。

3.1.2 视觉系统

在中国林芝机场，三个地标以固定的高度生成。它们均匀分布在经度纬度高度(LLH)坐标系内圆心点Op=[90.3359°,29.3065°,2950m]T\pmb{O}_p =[90.3359°,29.3065°,2950 m]^TOOOp=[90.3359°,29.3065°,2950m]T的圆上，半径为100米。如图5所示，地标p1\pmb{p}_1ppp1、p2\pmb{p}_2ppp2、p3\pmb{p}_3ppp3相对于中心点Op\pmb{O}_pOOOp的方位角分别为0°、120°和240°。为了模拟障碍物，两个统一高度为1000米的山脉对称地位于中心点东3000米和西3000米。

图5 地标的位置

如公式（3）所示，视觉伪距的误差由地标位置误差(LPE)和特征检测误差(DE)决定。在实验中，我们设置不同的LPE和DE值来评价视觉系统的性能。LPE假设为厘米级，变化范围为1厘米到10厘米(理想情况是零LPE)。对于分辨率为120dpi、300dpi、480 dpi和720 dpi的图像，DE设为一个标准差为1至4像素的白色高斯分布[30]，其中dpi是图像分辨率的单位，即每英寸像素的个数。

3.1.3 进近和着陆操作

设定进近和着陆阶段长度为6000米，从LLH坐标系[90.2539°,29.3065°,3650m]T[90.2539°,29.3065°,3650m]^T[90.2539°,29.3065°,3650m]T处开始，至LLH坐标系[90.3144°,29.3065°,3150m]T[90.3144°,29.3065°,3150m]^T[90.3144°,29.3065°,3150m]T处结束。模拟数据总长度为6×1066\times10^66×106s，由10510^5105架次组成，每架次60s。

3.2 修正视觉伪距

不同LPE下VP误差的平均值如图6所示。如图6a所示，未经修正的VP误差均值在4.7至0.2 m之间存在一个非零值范围。虽然地标位置非常准确，LPE为厘米级，但LPE仍会造成不可忽视的VP误差，并可能对完好性监测造成误报警。此外，由于视觉系统为转角系统，LPE近似线性引起的误差随着视线长度的增加而增大。如图6b所示，通过修正算法，在仿真过程中，标定后的VP误差均值小于1m。结果表明，我们的修正算法显著降低了VP误差的均值。从理论上讲，修正后的VP误差均值为0，如公式（14）所示，但由于线性化误差的存在，误差不能完全减小。

图6 不同LPE下VP误差的均值。（a）未修正的VP误差的均值；（b）修正后的VP误差的均值。

不同图像分辨率和DE下的VP误差标准差如图7所示。结果表明，较高的分辨率、较短的视距和较小的视差可以产生更精确的视觉伪距，但视觉系统的误差仍比GPS系统大得多。随着近年来特征匹配精度的提高，这种情况可能会得到改善。

图7 不同图像分辨率和DE下的VP误差的标准差。（a）在1像素DE下，不同图像分辨率下VP的标准差；（b）不同DE下VP在300dpi图像上的标准差。

虽然视觉测量中的时变误差不能直接保护，但我们可以通过提高图像分辨率和提高特征检测算法的准确性或鲁棒性来减轻其影响，这也是计算机视觉界的一个重要课题。此外，还可以采用独立视觉系统的一致性检验方法来降低视觉故障[12]的影响。应用于航空领域的图像处理是今后值得研究的课题。

3.3 性能指标

性能指标是根据系统设计要提供的服务水平来定义的。典型进近操作的性能要求如表1所示，包括HAL/VAL、水平/垂直精度(HA/VA(95%))和预警时间(TTA)[32,33]。

表1 航空性能要求

3.3.1 可用性

为了评估视觉系统提供的可用性改进，在进近和着陆阶段计算HPL/VPL。计算这两种方法的可用性，并与表1中的服务水平进行比较。如果HPL超过HAL或VPL超过VAL，则完好性被称为对操作不可用。图8显示了一次出击的HPL/VPL曲线。结果表明，在视觉系统的辅助下，HPL从41m降低到12至26m, VPL从56m降低到22至40m，较高的图像分辨率对组合系统产生的保护水平较低。原因是，提出的VA-RAIM提供了与GPS测量相结合的导航测量，以提高可用性。此外，由于视觉系统低于飞机，视觉测量可以改善几何结构，降低保护水平。在进近和着陆操作中，VA-RAIM在高分辨率图像上具有准确的特征检测结果，可以提高APV-I和LPV-200应用的可用性性能。然而，由于APV-II的性能要求非常严格，该方法还需要进一步研究。

图8 （a）1像素DE的HPL结果；（b）1像素DE的VPL结果。

3.3.2 定位准确性

除可用性要求外，典型操作中航空位置HA/VA(95%)要求如表1所示。该方法的水平误差(95%)为7.1m，垂直误差(95%)为4.3m，独立GPS导航水平和垂直误差(95%)分别为8.0 m和5.2 m。定位结果表明，该方法能够提高定位准确性，满足APV-I和APV-II的HA/VA(95%)要求。近年来，视觉辅助定位在航空领域的应用一直是研究的热点，而本文重点研究的是进近和着陆阶段的完好性问题。

3.3.3 时间成本

TTA是另一个重要的性能指标，如表1所示。VA-RAIM在仿真中平均花费10ms，因为它只包含一些基本的矩阵运算，除了图像处理。在实际应用中，图像处理将是花费时间的主要部分。因此，为了满足目标跟踪的要求，需要采用一些有效的特征检测方法，如尺度不变特征变换(SIFT)，该方法被证明是一种非常有效和低时间成本的目标跟踪方法。例如，对于大小(pixel×pixel)为256×256和441×552的图像，SIFT的时间代价分别为1.7ms和4.4ms[34]。

3.4 故障检测

3.4.1 GPS故障

为了评价我们的方法的性能，比较了GPS RAIM和VA-RAIM在故障检测方面的性能。我们随机选取一颗可见卫星，在伪距上加入故障偏差。不同方法的故障检测结果如图9所示，在故障相同的情况下，所提出的VA-RAIM方法比GPS RAIM方法具有更高的故障检测率。例如，当故障偏差为50m时，GPS RAIM的故障检测率为84.3%，VA-RAIM的300dpi和1像素DE的故障检测率为97.5%。VA-RAIM与GPS RAIM的故障检测结果相比，提高了13.2%。考虑到检测能力为99%，300dpi和2像素DE的VA-RAIM最小检测偏差(MDB)[16]为75m，比GPS RAIM的96m低21.9%。结果表明，所提出的VA-RAIM在进近和着陆阶段具有较高的故障检测率和较低的MDB，优于GPS RAIM。

图9 GPS RAIM和VA-RAIM的故障检测率。（a）在1像素DE和不同分辨率下的VA-RAIM和GPS RAIM；（b）在300dpi和不同DE下的VA-RAIM和GPS RAIM。

3.4.2 视觉故障

此外，VA-RAIM还可以考虑视觉测量中的任何潜在故障。本文将视觉故障定义为对某一特征检测结果的故障偏差。图10显示了300dpi图像上不同DE的故障检测结果。实验结果表明，视觉/GPS组合系统能有效地检测出视觉系统的故障。该方法具有更精确的DE，可以获得更高的视觉系统故障检测率，未来的研究将涵盖与视觉测量故障相关的保护水平。

图10 在300dpi和不同DE下视觉系统的故障检测率。

4 结论

本文提出了一种用于进近和着陆阶段GPS完好性监测的VA-RAIM。为解决近着陆阶段GPS信号不足的问题，在该方法中，利用视觉系统辅助丰富导航观测和几何配置。首先，提出了一种带有修正方法的视觉模型，以减小视觉系统的不变误差。然后，将修正后的视觉测量数据与GPS观测数据进行组合，以提高进近和着陆阶段的完好性监测性能。实验结果表明，VA-RAIM在可用性和故障检测率方面均优于常规RAIM。

此外，在夜间、大雾、雨雪等天气条件下，视觉系统可能会受到限制，这可能会对VA-RAIM的性能产生较大的负面影响。为了解决这一问题，一种更强大的特征检测方法值得研究。由于本文主要关注的是视觉系统提供的测量，而不是成像过程本身，因此使用高斯噪声模拟相机坐标系中地标的位置。未来的工作是用实际数据在各种场景下评估我们的VA-RAIM的实际效用。

5 附录

给定向量p\pmb{p}ppp，可得
δp∣∣p∣∣=δp∣∣p∣∣−pδ∣∣p∣∣∣∣p∣∣2(A1)\delta \frac{\pmb{p}}{||\pmb{p}||}=\frac{\delta \pmb{p}||\pmb{p}||-\pmb{p}\delta ||\pmb{p}||}{||\pmb{p}||^2} \tag{A1} δ∣∣ppp∣∣ppp=∣∣ppp∣∣2δppp∣∣ppp∣∣−pppδ∣∣ppp∣∣(A1)

代入δ∣∣p∣∣=pTδp/∣∣p∣∣\delta ||\pmb{p}||=\pmb{p}^T\delta \pmb{p}/||\pmb{p}||δ∣∣ppp∣∣=pppTδppp/∣∣ppp∣∣，可得
δp∣∣p∣∣=pTpδp−ppTδp∣∣p∣∣3(A2)\delta \frac{\pmb{p}}{||\pmb{p}||}=\frac{\pmb{p}^T\pmb{p}\delta \pmb{p}-\pmb{p}\pmb{p}^T\delta \pmb{p}}{||\pmb{p}||^3} \tag{A2} δ∣∣ppp∣∣ppp=∣∣ppp∣∣3pppTpppδppp−ppppppTδppp(A2)
记p=r[cosθ,sinθ]T∈R2\pmb{p}=r[cos\theta,sin\theta]^T\in \pmb{R}^2ppp=r[cosθ,sinθ]T∈RRR2，有
δp∣∣p∣∣=1rδp−1r[cos2θcosθsinθcosθsinθsin2θ]δp=1r[sin2θ−cosθsinθ−cosθsinθcos2θ]δp\delta \frac{\pmb{p}}{||\pmb{p}||}=\frac{1}{r}\delta \pmb{p}-\frac{1}{r}\begin{bmatrix} cos^2\theta & cos\theta sin\theta \\ cos\theta sin\theta & sin^2\theta \end{bmatrix}\delta \pmb{p}=\frac{1}{r}\begin{bmatrix} sin^2\theta & -cos\theta sin\theta \\ -cos\theta sin\theta & cos^2\theta \end{bmatrix}\delta \pmb{p} δ∣∣ppp∣∣ppp=r1δppp−r1[cos2θcosθsinθcosθsinθsin2θ]δppp=r1[sin2θ−cosθsinθ−cosθsinθcos2θ]δppp
↑(A3)\uparrow \tag{A3} ↑(A3)
根据公式（A3），记pi(k)C=ri(k)[cosθi(k),sinθi(k)]T\pmb{p}_{i(k)}^C=r_{i(k)}[cos\theta_{i(k)},sin\theta_{i(k)}]^Tpppi(k)C=ri(k)[cosθi(k),sinθi(k)]T和pj(k)C=rj(k)[cosθj(k),sinθj(k)]T\pmb{p}_{j(k)}^C=r_{j(k)}[cos\theta_{j(k)},sin\theta_{j(k)}]^Tpppj(k)C=rj(k)[cosθj(k),sinθj(k)]T，第2.2.1节的公式（5）可以写成，
δcij(k)=(pj(k)C∣∣pj(k)C∣∣)Tδpi(k)C∣∣pi(k)C∣∣+(pi(k)C∣∣pi(k)C∣∣)Tδpj(k)C∣∣pj(k)C∣∣=\delta c_{ij(k)}=(\frac{\pmb{p}_{j(k)}^C}{||\pmb{p}_{j(k)}^C||})^T\delta \frac{\pmb{p}_{i(k)}^C}{||\pmb{p}_{i(k)}^C||}+(\frac{\pmb{p}_{i(k)}^C}{||\pmb{p}_{i(k)}^C||})^T\delta \frac{\pmb{p}_{j(k)}^C}{||\pmb{p}_{j(k)}^C||}= δcij(k)=(∣∣pppj(k)C∣∣pppj(k)C)Tδ∣∣pppi(k)C∣∣pppi(k)C+(∣∣pppi(k)C∣∣pppi(k)C)Tδ∣∣pppj(k)C∣∣pppj(k)C=
[cosθj(k),sinθj(k)]1ri(k)[sin2θi(k)−cosθi(k)sinθi(k)−cosθi(k)sinθi(k)cos2θi(k)]δpi(k)C+[cos\theta_{j(k)},sin\theta_{j(k)}]\frac{1}{r_{i(k)}}\begin{bmatrix} sin^2\theta_{i(k)} & -cos\theta_{i(k)}sin\theta_{i(k)}\\ -cos\theta_{i(k)}sin\theta_{i(k)} & cos^2\theta_{i(k)} \end{bmatrix} \delta \pmb{p}_{i(k)}^C+ [cosθj(k),sinθj(k)]ri(k)1[sin2θi(k)−cosθi(k)sinθi(k)−cosθi(k)sinθi(k)cos2θi(k)]δpppi(k)C+
[cosθi(k),sinθi(k)]1rj(k)[sin2θj(k)−cosθj(k)sinθj(k)−cosθj(k)sinθj(k)cos2θj(k)]δpj(k)C[cos\theta_{i(k)},sin\theta_{i(k)}]\frac{1}{r_{j(k)}}\begin{bmatrix} sin^2\theta_{j(k)} & -cos\theta_{j(k)}sin\theta_{j(k)} \\ -cos\theta_{j(k)}sin\theta_{j(k)} & cos^2\theta_{j(k)} \end{bmatrix} \delta \pmb{p}_{j(k)}^C [cosθi(k),sinθi(k)]rj(k)1[sin2θj(k)−cosθj(k)sinθj(k)−cosθj(k)sinθj(k)cos2θj(k)]δpppj(k)C

设μij(k)=1ri(k)[sin2θi(k)−cosθi(k)sinθi(k)−cosθi(k)sinθi(k)cos2θi(k)][cosθj(k)sinθj(k)]\pmb{\mu}_{ij(k)}=\frac{1}{r_{i(k)}}\begin{bmatrix} sin^2\theta_{i(k)} & -cos\theta_{i(k)}sin\theta_{i(k)} \\ -cos\theta_{i(k)}sin\theta_{i(k)} & cos^2\theta_{i(k)} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} cos\theta_{j(k)} \\ sin\theta_{j(k)} \end{bmatrix}μμμij(k)=ri(k)1[sin2θi(k)−cosθi(k)sinθi(k)−cosθi(k)sinθi(k)cos2θi(k)][cosθj(k)sinθj(k)] ，则有
δcij(k)=μij(k)Tδpi(k)C+μji(k)Tδpj(k)C(A5)\delta c_{ij(k)}=\pmb{\mu}_{ij(k)}^T \delta \pmb{p}_{i(k)}^C+\pmb{\mu}_{ji(k)}^T\delta \pmb{p}_{j(k)}^C \tag{A5} δcij(k)=μμμij(k)Tδpppi(k)C+μμμji(k)Tδpppj(k)C(A5)

6 参考文献

略

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