《信号与系统学习笔记》—信号与系统的时域和频域特性（一）

注：本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。

一、博里叶变换的模和相位表示

1、一般来说，博里叶变换是复数值得，并且可以用它的实部和虚部，或者用它的模和相位来表示。

1）、连续时间博里叶变换X(jew)的模-相表示是

2）、离散时间博里叶变换X(jew)的模-相表示是

2、从博里叶变换综合公式来看，X(jw)本身就可以看成信号x(t)的一种分解，即把信号x(t)分解成不同频率的复指数之和。可以看成x(t)的能谱密度；这就是说，可以认为是信号x(t)中位于频率由w到w+dw之间这样一个无限小的频带呢所占有的能量。因此，模所描述的事一个信号的基本频率含量，叶即给出的事组成x(t)的各复指数信号相对振幅信息。

3、相位角不影响各个频率分量的大小，但提供的事有关这些复指数信号的相对相位信息。由所代表的的相位关系对信号x(t)的本质属性有显著的影响，因此一般包含了信号的大量信息。尤其是，依赖于什么样的相位函数，即时模函数保持不变也能得出看上去很不相同的信号。一般来说，的相位函数的变化导致信号x(t)时域特性的改变。在某些情况下，相位湿疹可能很重要，而在另一些情况下，也可能不重要。

二、线性时不变系统频率响应的模和相位表示

1、一个线性四不变系统对输入的作用就是改变信号中每一频率分量的复振幅、利用模-相表示来看，就能更详细地说明这个作用的性质。具体而言，在连续时间情况下

且

在离散时间情况下也有完全类似的关系。

1）、从上式可见，一个新兴时不变系统对输入博里叶变换模特性的作用就是其乘以系统频率响应的模，为此，一般称为系统的增益。

2）、从阁下是可见，由线性时不变系统输入的相位变换成在它基础上附加了一个相位，因此成为相移。系统的相移可以改变输入信号中各分量之间的相对相位关系，这样即使系统的增益对所有频率都为常数的情况下，也有可能在这种膜和相位上昌盛很大的变换。

一）、线性与非线性相位

1、当相移是w的线性函数，相移在十余种的作用就有一个非常直接的解释。考虑频率响应为

的连续时间线性时不变系统，它有单位增益和香型移位，即

具有这种频率响应特性的系统所昌盛的输出就是输入的时移，即

在离散时间情况下，当线性相位的斜率是一个整数时，其产生的效果与连续时间情况下爱是类似的。

2、虽然线性相移对一个信号产生的变换的很简单并且很容易理解和想象的，但是如果输入信号收到的事一个w的非线性函数的相移，那么在输入中各不同频率的复指数分量都将以某种方式移位，从而在它们的相位以上发生变换。当浙西复指数再次叠加在一起时，就会得到一个看起来与输入信号有很大不同的信号。

二）、群时延

1、具有线性相位特性的系统有一个特别单件的意义，这就是时移。事实上，相位特性就是时移的大小。也就是说，在连续时间情况下，若，那么系统给出的时移就是-t0，或者等效地说延时t0.类似的，在离散时间情况下，就对应于一个n0的时延。

2、时延的概念能够很自然地直接推广到非线性相位特性的情况。群时延就是这样的例子。在每个频率上的群时延就等于在那个频率上的相位特性频率的赋值，即群时延定义为

群时延的概念可以直接用到离散时间系统中。

三）、对数模和相位图

1、在连续时间系统中，如果博里叶变换的模在一个对数幅度尺度上展示的，那么下式

就会有一个相加的关系，即

在离散时间情况下也有完全一样的表达式。

2、如果有一副输入的弄里叶变换和一个线性时不变系统频率响应的对数模和相位图，那么输出的博里叶变换就可以将两者的对数模图相加，相位图相加而求得到。童颜，由于线性时不变系统级联的频率响应就是哥哥频率响应的乘积，因此一个级联系统的总频率响应的对数模和相位图就可以分别将响应的各部分系统的图相加而求得。另外，在一个对数尺度上展示博里叶变换的模还能在一个胶框的动态图上将细节显式出来。

3、一般采用的对数尺度是以为单位，称为分贝。对于连续时间系统，采用对数频率坐标也是很通常的，而且是很有用的。和对于的图称为伯德图。在离散时间情况下，博里叶变换和频率响应的模常常也是dB来表示的，其理由与在来内需时间情况下相同。然而，在离散时间情况下对数频率坐标一般是不用的，因为这是要考虑的频率范围总是有限的。并且对微分方程所具有的有点（叶即线性渐近线）对差分方程不适用。

三、理想频率选择性滤波器的时域特性

1、一个连续时间理想低通滤波器具有如下形式的频率响应

同样，一个离散时间理想低通滤波器的频率响应应为

理想低通滤波器具有记号的频率选择性。也就是说，它们无衰减地通过低于截止频率wc(包括wc中)的所有频率，而完全阻掉阻带(即高于wc)内的所有频率。在这，这些滤波器具有零相位特性，所以它们不会引入相位失真。即使信号频谱的模不被系统改变，非线性相位特性也能导致一个信号的时域特性有很大的变化。

2、连续时间理想低通滤波器的单位冲激响应是

类似的，离散时间理想屡破其对应的单位脉冲响应是

如果连续和离散时间理想频率响应中的任何一个再附加上线性相位特性，那么单位冲激响应就只是延时一个等于该相位特性斜率的复制的量。

3、连续时间和离散时间理想低通滤波器的单位阶跃响应s(t)和s[n]如下图所示

在两种情况下都可以看到，阶跃响应所表现出的几种特性可能都是我们不希望有的。特别是，对于这些滤波器其阶跃响应都有比它们最后稳态值大的超量，并且呈现出称为振铃的震荡行为。另外，阶跃响应就是单位冲激响应的积分或求和，即

因为理想滤波器的单位冲击响应其主瓣是从-π/wc延伸到+π/wc，所以阶跃响应就在这个时间间隔内其值发生显著的变化。也就是说，阶跃响应的所谓上升时间也就反比于相关滤波器的宽带。

四、非理想滤波器的时域和频域特性讨论

1、理想滤波器的不足

1）、在实际中不一定总是所要求的的。

2）、理想低通滤波器的阶跃响应问题。在两需时间和离散时间两种情况下爱，阶跃响应都渐渐地趋于一个等于阶跃值得恒定值。然而，在跳变点附近呈现过冲(超量)和震荡。在某些情况下爱，这种时域特性不是所希望的。

3）、理想滤波器不可能实现。

2、非理想滤波器的实际意义

1）、在滤波器的铜带和阻带特性上容许有某些灵活性，以及相对于理想滤波器的陡峭的过渡带来说，容许在铜带和阻带之间有一个渐渐的过渡特性。

2）、在频域除了默特性之外，在某些情况下，相位特性叶的要求也很重要。尤其是，一个再通带内线性接近现象相位的特性往往是我们所希望的。为了控制食欲特性，一般都将指标要求放在一个滤波器的阶跃响应上。

3、对于非理想低通滤波器来说，可以看到过渡带的宽度(频率特性)与阶跃响应的建立时间(时域特性)之间可能有意中折中。滤波器时域和频域特性之间的折中，以及诸如复杂度和成本之间的折中之类问题的考虑，成为滤波器设计方面的核心领域。

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