丁小平：人类究竟需要什么样的微积分原理

                    人类究竟需要什么样的微积分原理

更新时间：2019-11-25 文章来源：河南科技报

■作者：丁小平 单位：北京二十一世纪药理科学研究院

微积分体系建立几百年以来，在方法应用上取得了巨大的成就，然而现行微积分原理却存在诸多不完善、不正确的地方。这不仅在于：第一，现行微积分原理在结构上不能自圆其说；第二，细微之问题甚多；第三，这个微积分原理逻辑错误也多。而且，还在于这个微积分原理几乎没有起到原理的作用。因而，纠正现行微积分原理的错误，建立新的数-形模型，重建满足数学发展要求的新微积分原理，是数学发展不可跨越的一步。

这个主张目前还不能得到大多主流数学工作者的重视，其根本原因可以说是当下的主流数学家几乎都是专家（或渊家），擅长于具体问题的研究；而严重缺乏博家，进而缺少从战略上把握数学前进方向的人。数学进入二十世纪下半叶以来，由于各方面原因，主流数学界几乎没有博家了，数学工作者的队伍出现了失衡，这是需要改变的现象。我们这个时代岂止是没有笛卡尔(R.Descrates,1592- -1650)、牛顿(I.Newton,1642- -1727)和莱布尼兹(G.Leibniz,1646- 1716)这样的大师，也没有像克莱因(F.Klein,1849-1925)、庞加莱(H.Poicare,1854- 1912)这样的渊博家，就连外尔(H.Weyl,1885- 1955)这样的小渊博家都没有了，当然，也没有像高斯(Gauss,1777-1855)这样的大渊家。

维纳(N.Wiener，1894- - 1964)在他1948年出版的《控制论》书中指出：“在上一世纪，也许没有莱布尼兹这样的人，但还有一个高斯、一个法拉第、一个达尔文。今天没有几个学者不加任何限制而自称为数学家，或者物理学家，或者生物学家。一个人可以是一个拓扑学家，或者一个声学家，或者一个甲虫学家。他满嘴是他那个领域的行话，知道那个领域的全部文献、那个领域的全部分支，但是，他往往会把邻近的科学问题看作与己无关的事情，而且认为如果自己对这种问题发生任何兴趣，那是不能允许的侵犯人家地盘的行为。”试想，如果一个人把自己大脑的珍贵贮存空间只用于存放“那个领域的全部文献”，如果一个人动辄就是“侵犯人家地盘的行为”，那么，他怎么能成为一个学识渊博的人?他所处时代的莱布尼兹又怎么能诞生？科学发展的历史一再向人类昭示：没有学问渊博的大师，一门科学的发展就必然会因失去总体战略而杂乱无章，从而进入半停滞状态。我们必须纠正自然科学发展的这种状态，至少要纠正数学发展的这种状态。

恩格斯指出：“在一切理论进步中，同17世纪下半叶发明微积分比较起来，未必再有别的东西会被看作人类精神如此崇高的胜利。”冯·诺依曼也指出：“微积分是现代数学取得的最高成就，对它的重要性怎样估计也是不会过分的。”可以说，如果没有这放之四海而皆准的庞大的微积分方法体系，就没有现代数学，从而也就没有现代科学。可是，时至今日人类也没能真正搞清楚，为什么这个庞大的微积分方法体系放之四海而皆准。又何况，正如马克思在《数学手稿》中所说，微积分方法是“通过肯定不正确的数学途径得出的正确的结果。”人类应该弄清这里的机理，从而优化已有微积分方法，并揭示更多微积分方法，这个机理就是所谓的微积分原理。遗憾的是，这个问题已经从十八世纪推到今天。又何况，不揭示这个机理，人类往下要制定科学的数学科学发展战略也无从谈起。

可是，时至今日仍有不少数学工作者还没意识到要区分微积分方法与微积分原理，没有认识到这两者根本不是一码事。甚至还有人认为微积分原理就是用来证明微积分方法是有用的，好像实践并没有证明过微积分方法是行之有效的。还有的数学家认为，即使现行微积分原理中的微分部分是错误的也没关系，只要舍弃这部分就可以了，因为没有微分这个原理照样正确。我们权且不对这个退化了的微积分原理做微观的批评，事实上，即使仅从宏观把握，这个微积分原理也是不满足要求的。

下面，让我们从构造一个不用极限的新微积分原理说起：

图1：一个不用极限的新微积分原理

试想，现行微积分原理一旦删掉微分便会与上述新微积分原理处于同一水平。其原理性又还有多少？它们连同现行实变函数理论能够科学地解释微积分方法之所以行之有效的机理吗？它们优化过哪个微积分方法吗？它们又何曾揭示过新的微积分方法？这个光开花不结果的微积分原理的意义何在？当然，我们不否认它在建立微积分原理的研究领域的示范意义。

笔者可以把虚位移原理改作虚功率原理，也可以不用变分而改用导数构造第二类拉格朗日方程，甚至还可以勉强不经分离变量（即直接用导数）去解微分方程，可是，这不能成为这种退化了的微积分原理可以满足光怪陆离的微积分方法体系的要求的理由。事实上，尽管1821年和1823年柯西的《分析教程》和《无限小计算教程概论》的出版标志着现行微积分原理的建立，可是，二百多年来人类科学的发展依靠的还是以莱布尼兹为代表的微积分，而不是以牛顿为代表的微积分，当年英国人抱着牛顿的门户之见搞数学，并导致英格兰岛在数学上远落后于欧洲大陆的历史事实就是证明。相反，这二百多年中欧拉(Euler,1707- -1783)、拉格朗日(Lagrange,1736- -1813)、拉普拉斯(Laplace,1749- -1827)、勒让德(Legendre,1752- 1833)、傅里叶(Fourier,1768- 1830)、高斯(Gauss,77-1855)、泊松(Poisson,1781 -1840)、哈密顿( Hamilton,1805- 1865)和刘维尔(Liouville,1809- 1822)等众多双料大科学家都不接受柯西(Cauchy,1789 -1857)的微积分原理，反倒沿用莱布尼兹微积分原理。可以这么说，没有哪项科学成就是现行微积分原理的产物，因为现行微积分原理从来就没有自圆其说过。相反，倒是那个说不清微分是什么的莱布尼兹微积分原理的产物。注意，莱布尼兹的微分是“说不清”，而柯西的微分是“不正确”，这是性质不同的两码事。一句话，说不清的东西仍然可能是正确的，而不正确的东西是不会正确的。

十八世纪初到十九世纪末是数学与自然科学交织在一起的突飞勐进的发展时期，以欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅里叶、高斯、泊松、哈密顿等为代表的科学家，几乎都是精通数学、一般力学、固体力学、流体力学、天体力学、热力学、物理学等的通才，而他们又几乎都是拒斥柯西微积分原理的。正是这个原因，这些门自然科学中所使用的微积分方法普遍沿用莱布尼兹的“无穷小量”、“微分”、“导数(微商)”和约翰·伯努利( J.Bernoulin ,1667- -1748)的“变分”等工具。不仅如此，即使时至今日，这些东西还都在继续沿用着。这个铁的事实要求微积分原理对这些微积分方法行之有效的机理做以说明，而不是通过削足适履的手段阉割这铁一般的事实，更不是通过涂抹掉无穷小、微分及变分广泛使用的科学历史来为一个不称职的微积分原理的存在创造条件。我们的历史使命是重建满足客观需求的微积分原理，这是因为沿用至今的至少在微分部分存在根本性错误的柯西微积分原理，是不能解释如此丰富的微积分方法何以行之有效的。

牛顿的微积分原理的缺点在于自相矛盾；莱布尼兹的微积分原理的缺点在于微分的本质一时说不清楚。这一事实既是柯西重建微积分原理的理由，也是柯西重建微积分原理的素材。可惜的是，由于他对莱布尼兹的微积分原理的理解极为有限，他只能利用沃利斯以来的极限思想对牛顿的“流数”和“反流数”加以说明，从而形成了一个牛顿模式又在无奈时拼凑了莱布尼兹的微分的微积分原理。在这个原理中，首先，极限的意义主要在于含沙射影地给出导数和定积分的定义，同时也用来求导数，而不是直接给出反映其机理的表达式；其次，拼凑了微分并解释导数就是微商，但是对微积分的定义明显存在问题；再次，定义导数抑或微分与不定积分是互逆关系，而不是论证为什么它们之间是互逆关系；又次，把本来是同一数学结构的不定积分与定积分误定为两个数学结构，定积分是一个和式的极限，它与不定积分的关系仅在于借助于不定积分进行计算。由此可见，这样的微积分原理，即使不要求它在细枝末节上而仅仅要求它在最基本的问题上阐释微积分方法的机理也没做到。从根本上说，人类需要的是知微积分方法行之有效所以然的微积分原理，而不是知微积分方法行之有效然的微积分原理。现行微积分原理就是知其然而不是知其所以然的微积分原理。

基本够格的微积分原理，首先要说清楚微分的本质，当然，变分的本质也就一道说清楚了；其次要给出作为瞬时变化率的导数的瞬时比形式，这才说清了导数的本质；再次要阐释清楚为什么微分与积分是互逆过程，而不是只肯定微分与积分是互逆过程，当然，同时还要说明不定积分与定积分是一回事，只不过一个积分限任意，一个积分限确定罢了。其实，莱布尼兹的微积分原理的思想脉络就是这样的，只不过是由于时代所限微分的概念说不太清楚，致使其它部分也讲得不细致。但是，莱布尼兹的整体思路是正确的，罗宾逊(A.Robinson,1918- -1974)用它的《非标准分析》证明：“Leibniz的思想能够全面维护”；同时还提醒人们三思：“有一个鲜明的对照：对Leibniz及其追随者，给以严格的待遇，而对极限学说的发起者的错误却予以谅解。”哥德尔(G?del,1906- -1978)也同样支持罗宾逊的结论，他说：“以这种或那种形式表示的非标准分析,将成为未来的分析学。”（当然，）顺便需提醒的是，我们这个时代的主流数学工作者，由于一些原因，往往自觉或者不自觉地忽视哲学、数学史等知识，致使自己的历史还原能力偏弱，因此，在不自觉中夸大了莱布尼兹的微分的不足。当知，莱布尼兹时代还没有实数理论，也没有函数概念及其理论。另一方面，历史就是一面镜子，漠视这面镜子是不明智的。如果具备了丰厚的哲学功底，尤其是科学哲学（在中国表现为自然辩证法，当然，是要总结科学方法而不是单纯讲科学史的)功底，再认真研究数学史，尤其是微积分史(不可忽视极限史，当然，现有的数学史书籍大多缺少这部分），就不难发现牛顿、莱布尼兹为什么不能彻底建立微积分原理，也不难发现为什么柯西在重建微积分原理中会出现这些错乱之处，还能知道建立正确的微积分原理要走怎样的路径，甚至还可以想象为什么黎曼明知柯西微积分模式有问题而不说……

说到这里，人类需要什么样的微积分原理应该清楚了，那就是这个微积分原理，不仅要讲明如此这般丰富的微积分方法行之有效的基本机理，而且，还要阐释393年以来与自然科学交织在一起的微积分方法的细枝末节的正确以及不足的原因。那种说不清甚至还要求剔除微分及变分的微积分原理肯定不够格。

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