第一章    基本定理

1设有 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbx(t_0)=\bbx^0,\quad (t_0,\bbx^0)\in \bbR\times \bbR^n. \eex$$ 试证: 若 $\bbf\in C^1(G)$, 则在 $(t_0,\bbx^0)$ 的领域内, 此 Cauchy 问题的解存在惟一.

证明: 由 $f\in C^1(G)$ 蕴含 $f\in C(G)$ 且在 $G$ 内适合 Lipschitz 条件知有结论.

2试讨论下列方程解的存在区间:

(1)    $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=\frac{1}{x^2+y^2}}$;

(2)    $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=y(y-1)}$.

解答:

(1)    由 $\dps{\frac{\rd x}{\rd y}=x^2+y^2}$ 的解的存在区间有限知 $y$ 有界, 而由解的延

拓定理, 原方程解的存在区间为 $\bbR$.

(2)    直接求解有 $\dps{y=\frac{1}{1-\frac{y_0-1}{y_0}e^x}}$, 而

a.当 $0\leq y_0\leq 1$ 时, 原方程解的存在区间为 $\bbR$;

b.当 $y_0<0$ 时, 原方程解的存在区间为 $\dps{\sex{\ln\frac{y_0}{y_0-1},\infty}}$;

c.当 $y_0>1$ 时, 原方程解的存在区间为 $\dps{\sex{-\infty,\ln\frac{y_0}{y_0-1}}}$.

3 设有一阶微分方程式 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}. \eex$$ 试证: 过任一点 $(t_0,x_0)\in\bbR^2$ 的右行解的存在区间均为 $[t_0,+\infty)$.

证明: 由 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}=\left\{\ba{ll} <0,&x>t,\\ >0,&x<t \ea\right. \eex$$ 知解在 $\sed{x>t}$ 内递减, 在 $\sed{x<t}$ 内递增. 当 $x_0>t_0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR, t_0<x<x_0} \eex$$ 内应用解的延伸定理知解定与 $\sed{x=t}$ 相交, 之后解递增, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x<t} \eex$$ 内应用延伸定理及比较定理即知结论.

4设有一阶方程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=f(x)}$, 若 $f\in C(-\infty,+\infty)$, 且当 $x\neq 0$ 时有 $xf(x)<0$. 求证过 $\forall\ (t_0,x_0)\in\bbR^2$, Cauchy 问题的右行解均在 $[t_0,+\infty)$ 上存在, 且 $\dps{\lim_{t\to+\infty}x(t)=0}$.

证明: 由题意, $$\bex f(x)\left\{\ba{ll} >0,&x<0,\\ <0,&x>0. \ea\right. \eex$$ 而由 $f$ 的连续性, $f(0)=0$. 于是当 $x_0=0$ 时, 由解的唯一性知 $x=0$. 当 $x_0>0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,0<x<x_0} \eex$$ 内应用延伸定理及惟一性定理知 $x(t)$ 递减趋于 $0$. 当 $x_0<0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x_0<x<0} \eex$$ 内应用延伸定理及惟一性定理知 $x(t)$ 递增趋于 $0$.

5若 $\bbf(t,\bbx)$ 在全空间 $\bbR\times\bbR^n$ 上连续且对 $\bbx$ 满足局部 Lipschitz 条件且 $$\bex \sen{\bbf(t,\bbx)}\leq L(r),\quad r=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2},\quad \bbx=(x_1,\cdots,x_n)^T, \eex$$ 其中 $L(r)>0, r>0$, 且 $$\bee\label{1.5:1} \int_a^{+\infty}\frac{\rd r}{L(r)}=+\infty,\quad a>0. \eee$$ 试证: 对 $\forall\ (t_0,\bbx^0)\in\bbR\times\bbR^n$, Cauchy 问题的解均可对 $t$ 无限延拓.

证明: 由解的延伸定理, 仅须证明在任何有限区间 $-\infty<\alpha<t<\beta<+\infty$ 上, $\bbx(t)$ 有界. 为此, 令 $y(t)=\sen{\bbx(t)}$, 则 $$\beex \bea \frac{\rd y(t)}{\rd t}&=2\bbx(t)\cdot\frac{\rd \bbx(t)}{\rd t} =2\bbx(t)\cdot \bbf(t,\bbx(t)),\\ \sev{\frac{\rd y(t)}{\rd t}} &\leq 2\sqrt{y(t)}\cdot L\sex{\sqrt{y(t)}},\\ \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}}&\leq \rd t,\\ \int_\alpha^\beta \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}} &\leq \int_\alpha^\beta \rd t=\beta-\alpha. \eea \eeex$$ 这与 \eqref{1.5:1} 矛盾 (事实上, 当 $\alpha,\beta\gg 1$, $|\alpha-\beta|\ll 1$ 时, 不等式右端可任意小, 而不等式左端有积分发散知可大于某一正常数).

6设有微分方程 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx), \eex$$ $\bbf\in C(G\subset \bbR\times\bbR^n)$, 试证: 若对 $\forall\ (t_0,\bbx^0)\in G$, Cauchy 问题的解都存在唯一, 则解必对初值连续依赖.

证明: 参考[家里蹲大学数学杂志第134期, 常微分方程习题集, 第1600页].

7 试在定理 1.1 的假设下, 利用 Gronwall 引理直接证明解对初始时刻 $t_0$ 的连续依赖性.

证明: 参考定理 1.7 的证明.

8 设有一阶 Cauchy 问题 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=x^2+(y+1)^2,\quad y(0)=0. \eex$$ 试利用比较定理证明, 若设解的右行饱和区间为 $[0,\beta)$, 则 $\dps{\frac{\pi}{4}\leq \beta\leq 1}$.

证明: 仅须注意到当 $0\leq x\leq 1$ 时, $$\bex (y+1)^2\leq x^2+(y+1)^2\leq 1+(y+1)^2. \eex$$ 再利用比较定理即知结论.

第二章 动力系统的基本知识

1试证明: $\Omega_P=\vno$ 的充要条件是 $L_P^+$ 趋于无穷.

证明: $\ra$ 用反证法. 若 $L_P^+$ 不趋于无穷, 则 $$\bex \exists\ M>0, t_n\nearrow +\infty,\st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)}\leq M. \eex$$ 由 Weierstrass 定理, $$\bex \exists\ \sed{t_n'}\subset \sed{t_n},\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q, \eex$$ 而 $Q\in \Omega_P$, 这是一个矛盾. $\la$ 亦用反证法. 若 $\Omega_P\neq \vno$, 而设 $Q\in \Omega_P$, 则 $$\bex \exists\ t_n\nearrow+\infty,\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q. \eex$$ 这与 $L_P^+$ 趋于无穷矛盾.

2试证明: 若 $\Omega_P$ 仅含惟一奇点 $P^*$, 则当 $t\to+\infty$ 时必有 $L_P^+$ 趋向于 $P^*$.

证明: 用反证法. 设 $$\bee\label{2.2:1} \exists\ \ve_0>0,\ t_n\nearrow+\infty, \st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)-P^*}\geq \ve_0. \eee$$ 则

(1)若 $\sed{t_n}$ 有有界的子列, 则适当抽取子列 $\sed{t_n'}$ 后有 $$\bex \mbox{ $\varphi$}(P,t_n')\to Q. \eex$$ 于是 $Q\in \Omega_P=\sed{P^*}$. 这与 \eqref{2.2:1} 矛盾.

(2)若 $\sed{t_n}$ 无有界的子列, 则 $\dps{\lim_{n\to\infty}\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)=\infty}$, 而 $\infty\in \Omega_P=\sed{P^*}$, 又是一个矛盾.

3试证明: 若 $\Omega_P$ 有界且 $\Omega_P$ 非闭轨, 则 $\forall\ R\in \Omega_P$, $\Omega_R$ 与 $A_R$ 必均为奇点.

证明: 用反证法证明 $\Omega_R$ 为奇点集, $A_R$ 为奇点集类似可证. 设 $\Omega_R$ 含有常点. 由 $R\in \Omega_P$ 及 $\Omega_P$ 为不变集知 $L_R\subset \Omega_Q$. 于是按引理 2.3, $L_R$ 为闭轨线, $L_R=\Omega_R\subset \Omega_P$. 这与 $\Omega_P$ 非闭轨矛盾.

4试证明: 一系统的圈闭奇点的集合是一闭集.

证明: 全体奇点的集合为 $$\bex \sed{\bbx^*\in G; \bbf(\bbx^*)=\mbox{ $0$}}. \eex$$ 由 $\bbf$ 的连续性即知结论.

5 若 $L_P^+$ 有界且 $\Omega_P$ 仅由奇点构成, 能否断定 $\Omega_P$ 仅含一个奇点?

解答: 不能断定. 仅能说 $\Omega_P$ 为由奇点构成的连通闭集或闭轨线.

6 设 $O(0,0)$ 是一平面自治系统的惟一奇点, 且是稳定的, 全平面没有闭轨线. 试证: (1) 此系统的任一轨线必负向无界; (2) 任一有界的正半轨闭进入奇点 $O$.

证明:

(1) 用反证法. 若有一轨线负向有界, 则在定理 2.8 中, 由全平面没有闭轨线知 (3),(4) 不成立; 由 $O$ 为惟一奇点知 (1),(2),(5) 不成立. 这是一个矛盾.

(2) 对有界正半轨而言, 定理 2.8 中仅有 (1),(2),(5) 可能成立. 若 (1),(2) 成立, 则结论已证; 而由全平面没有闭轨线知 (5) 不成立.

第三章 稳定性理论

1 讨论方程 $$\bee\label{3.1:1} \sedd{\ba{ll}\frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-a^2\sin x_1\ea} \eee$$ 零解的稳定性.

解答: 选取 $$\bex V(\bbx)=\frac{x_2^2}{2}+a^2(1-\cos x_1), \eex$$ 则 $V$ 在原点的一邻域内是正定的, 且沿 \eqref{3.1:1} 的轨线有 $$\bex \dot V(\bbx)=V_{x_1}x_1'+V_{x_2}x_2'=0. \eex$$ 由此, 零解是稳定的, 但不是渐近稳定的.

2 证明方程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-x+x^2}$ 的零解是指数渐近稳定的, 但不是全局渐近稳定的.

证明: 解该微分方程有: $$\bex \ba{ccc} -\frac{1}{x^2}\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{1}{x}-1,&\frac{\rd y}{\rd t}=y-1\ \sex{y=\frac{1}{x}},&\frac{\rd z}{\rd t}=-e^{-t}\ \sex{z=e^{-t}y},\\ z=e^{-t}+C,&y=Ce^t+1,&x=\frac{1}{1+Ce^t}. \ea \eex$$ 由此, 原微分方程的解为 $$\bex x=0,\mbox{ 或 }x(t)=\frac{1}{1+Ce^t}. \eex$$ 取初值 $(t_0,x_0),\ x_0\neq 0$, 有 $$\bex x(t,t_0,x_0)=\frac{x_0}{1+e^{t-t_0}(1-x_0)}. \eex$$ 故当 $|x_0|<1$ 时, $$\bex |x(t,t_0,x_0)|\leq \sev{\frac{1}{x_0}-1}e^{-(t-t_0)}. \eex$$ 这说明零解是指数渐近稳定的. 但由于从 $(t_0,1)$ 出发的解 $x(t,t_0,1)=1$ 不趋于零解, 而零解不是全局渐近稳定的.

3 在相空间 $\bbR^n$ 中给出 $\dps{\frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\ \bbf(t,0)=0}$ 的零解稳定、渐近稳定、不稳定的几何解释.

解答: 零解是稳定的 $\lra\ \forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\ \forall\ P\in B_\delta,\ L_P^+\subset B_\ve$; 零解是渐进稳定的 $\lra\ \exists\ U\ni O,\ \forall\ P\in U,\ L_P^+\to 0$; 零解是不稳定的 $\lra\ \exists\ \ve_0>0,\ \exists\ P_n\to0, \st L_{P_n}^+\bs B_\ve\neq \vno$.

4判断下列系统零解的稳定性:

(1)      $\dps{\sedd{\ba{ll} \frac{\rd x_1}{\rd t}=mx_2+\alpha x_1(x_1^2+x_2^2),\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-mx_1+\alpha x_2(x_1^2+x_2^2); \ea}}$;

(2)      $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}+\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^3+f(x)=0,}$ 其中 $xf(x)>0\ (x\neq 0), f(0)=0$;

(3)      $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}-\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^2sgn\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}+x=0}$.

解答:

(1) 取 $$\bex V=x_1^2+x_2^2, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分方程的轨线有 $$\bex \dot V=2\alpha(x_1^2+x_2^2)\sedd{\ba{lll} \mbox{正定},&\alpha>0,\\ 0,&\alpha=0,\\ \mbox{负定},&\alpha<0. \ea} \eex$$ 于是当 $\alpha>0$ 时, 由定理 3.3, 零解是不稳定的; 当 $\alpha=0$ 时, 由定理 3.1, 定理是稳定的; 当 $\alpha<0$ 时, 由定理 3.1, 零解是渐近稳定的.

(2) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=-x_2^3-f(x_1). \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_2^2}{2}+\int_0^{x_1}f(t)\rd t, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分方程的轨线有 $\dot V=-x_2^4\leq 0.$ 再 $$\bex \sed{\bbx;\dot V(\bbx)=0}=\sed{0}, \eex$$ 我们据定理 3.2 知零解是渐近稳定的.

(3) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=x_2^2 sgn(x_2)-x_1. \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_1^2+x_2^2}{2}, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分方程的轨线有 $\dot V=x_2^2|x_2|$ 是正定的. 我们据定理 3.3 知零解是不稳定的.

5 若存在有无穷小上界的正定函数 $V(t,\bbx)$, 它沿着 $$\bex (3.3.1)\quad \frac{\rd\bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbf(t,0)=0 \eex$$ 解曲线的全导数 $\dot V(t,\bbx)$ 负定, 证明 (3.3.1) 的零解是渐近稳定的.

证明: 仅须注意到存在正定函数 $W(x)$, $W_1(x)$ 使得 $$\bex W(\bbx)\leq V(t,\bbx)\leq W_1(\bbx). \eex$$ 而可仿照定理 3.1 的证明.

6 讨论 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{g'(t)}{g(t)}x}$ 零解的稳定性, 其中 $\dps{g(t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^4(t-n)^2}}$. 能否得到零解渐近稳定的结果? 为什么?

解答: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{g(t_0)}{g(t)}, \eex$$ 而由 $$\bex |x(t)|\leq\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n\neq [t],[t]+1}\frac{1}{1+n^4(t-n)^2}} \leq \frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}} \eex$$ 知零解是稳定的; 由 $$\bex |x(k)|=\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{1+\sum_{n\neq k}\frac{1}{n^4(k-n)^2}}\geq \frac{|x_0|}{g(t_0)} \eex$$ 知零解不是渐近稳定的.

7证明 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-\frac{x}{t+1}}$ 的零解是渐近稳定的, 但不存在有无穷小上界的正定函数 $V(t,x)$, 使得 $\dot V(t,x)$ 负定 (该习题表明习题 5 中渐近稳定性定理中的条件不是必要的).

证明: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{1+t}. \eex$$ 而零解是渐近稳定的.