设函数$F(x,y)$在包含$(x_0,y_0)$的一个开集$\Omega$上连续可微，且满足条件
\begin{equation}
\label{eq:14.17.32}
F(x_0,y_0)=0,\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0,
\end{equation}
则存在以$(x_0,y_0)$为中心的开方块
\begin{equation}
\label{eq:14.17.39}
D\times E\subset\Omega
\end{equation}
使得对任何一个$x\in D$,恰好存在唯一一个$y\in E$,满足方程\begin{equation}\label{eq:14.17.41}F(x,y)=0\end{equation}这就是说，方程$F(x,y)=0$确定了一个从$D$到$E$的函数$y=f(x)$.

证明:我们不妨令$D_1\times E_1\subseteq \Omega$,则$F(x,y)$在$D_1\times E_1$上连续可微.由于$\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0$,则$\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)$不是正的就是负的.我们可以选取恰当的$D_1\times E_1$,使得在$D_1\times E_1$内，$F(x,y)$对$y$的偏导数的符号都与$\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)$的符号相同(这是因为$F$在$D_1\times E_1$上连续可微.).现在，假设在$D_1\times E_1$内存在两点$(x_1,y_1)$和$(x_1,y_2)$,使得$F(x_1,y_1)=0$且$F(x_1,y_2)=0$.则根据拉格朗日中值定理，存在$y'\in (y_1,y_2)$,使得\begin{equation}\label{eq:14.22.46}\frac{\partial F}{\partial y}(x',y')=0\end{equation}这与"$D_1\times E_1$内$F$对$y$的偏导数都不为0"矛盾.

本文的后续是

《数学分析新讲》_张筑生,12.5节:隐函数定理(2)

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