最近网络疯传疫情模拟预测结果。CFD界在看到这个模型之后，感觉很欣慰。数值模拟手段正在走进千家万户。

另一方面，网络上流传的各种模型，存在一些缺陷。其实类似的问题在计算流体力学(CFD)中特别常见，比如大名鼎鼎的群体平衡模型Population Balance Equation(PBE)

Population是什么，是人口。Population Balance就是人口平衡。

PBE在CFD这面求解已经几十年了。只不过从来没和医学交叉过。

在这个小文中，CFD界简单讨论，如何从偏微分方程的角度，更完善的描述感染人口的扩散。

更完善的模型，需要和医学领域，交叉合作研究。

我们认为P表示感染人口数量，其为一个随时间、空间变化的函数，因此，做导数的时候，为偏导！：

对P对时间做微分，表示感染人口数量的变化。最简单的情况：

如果S=0，则P不增不减，表示新增感染人口与治愈人口数量相等。这个就是最简单的网络上疯传的SIP模型，可以看出，这个是算法求解中最简单的数值模型。

这只是一个ODE系统，由于疫情可控，方程不存在任何刚性，小学生都能求解。

1. 医学与流体力学交叉后的模型

对于我们CFDer，搞偏微分方程的，咱们玩点复杂的。

我们考虑感染人口的传播特性，在这里考虑传输人口的扩散行为，与主动对流行为，扩散行为可以表示为：

在这里Γ表示感染人口的扩散性传输。Γ为一个二阶张量！感染人口的主动对流行为可以表示为：

其中的U表示感染人口的主动传播方向，为一个矢量。将这些项放在一起，构成

感染人口传输方程：

方程未知量是P(感染人口)，为随着空间，时间变化的量。

求解这个方程，可以得出感染人口的时间、空间分布。也就是这张疫情地图是可以计算机模拟出来了的。

在这里暂且将它称之为感染人口传输方程。这个方程强烈区别于网络流传的SIP模型以及前几天刷屏的B站模型。

在这里要强调，在这里没有调用任何的模型去封闭。因此感染人口传输方程是完全精准的。

感染人口传输方程还不能求解，因为一个方程存在多个未知量。

这个方程中，除了P是未知变量，U、Γ、S1、S2均为未知变量。

下面我们对方程进行封闭。

2. 模型封闭

首先是U，U表示感染人口的主动传输，也就是这些感染人口，倾向于去哪。在这里要对其进行模型化处理。

目前正值春运，我们认为U应该具备大城市间的主动传播特性，比如武汉- 北京方向的U的数值应该比较大，相反，全国各地到武汉的速度数值应该比较小。

类似的，经过这种模型化处理，有了感染人口主动传输速度U。

下面要对Γ进行封闭。最简单的模型为将其处理为一个标量，即感染人口无方向的向四周传播。

如果考虑感染人口的扩散反向，Γ为二阶张量，也即感染人口最后的扩散可能会呈现一个椭圆的形状或者其他。

这样，感染人口传输方程左侧则封闭。

感染人口传输方程右侧的S1和S2分别表示源项和沉降项，这俩项也和空间、时间变化有关。

考虑正的S1源项，其表示感染人口数量增加的时间变化，对S1进行模型化，需要考虑：

1. 武汉地区的S1数值较大

2. 随着时间变化，S1应该增加

3. 其他

考虑负的S2源项，其表示感染人口数量减少的时间变化，这一项，大体反应了治愈率。具备以下特征：

1. 在治愈率较低的情况下，S2的数值非常小

2. 大城市医疗设备完善，S2是一个比较大的负值

3. 疫苗的产生、特效药的生产，都会导致S2绝对值的增加

4. 其他

这样，

感染人口传输方程封闭，即可求解，获得随时间、空间位置变化的感染人口数量。

在这里需要强调，如果U和Γ和P有关，则构成非线性PDE系统，

1)需要线性化处理；

2)需要迭代计算；

这就是我们CFDer专门干的事。

一个精准的U、Γ、S1以及S2的模型化处理，会影响最终预测的感染人口数量。

好了，在这里CFD界，只是从流体力学的角度，简单讨论了一下针对武汉疫情传播的数值模型。

其实大约2星期前，CFD界就考虑过写这个模型出来，但总感觉大家对这个不感兴趣，全是方程，乱七八糟的也看不懂。

不过，一个学科如果能用数学来表示，那才是最严谨的。

以本次疫情为例，这是一次完美的学科交叉。

感染人口传输方程的具体求解，感兴趣的，算一下吧。

如果有医学领域的关注者，可以研究些如何对方程各项进行封闭，具体求解，可以留给CFDer们，比如下图就是CFDer典型的计算过程：

先手算！再植入计算机求解！

本文是CFD界凌晨5点在梦中琢磨的，感谢你认同这个模型，如果不认同，就当我凌晨做梦好了。

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