Luogu1390 公约数的和

原题链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1390

公约数的和

题目描述

有一天，TIBBAR和LXL比赛谁先算出1~N这N个数中每任意两个不同的数的最大公约数的和。LXL还在敲一个复杂而冗长的程序，争取能在100s内出解。而TIBBAR则直接想1s秒过而获得完胜，请你帮他完成这个任务。

输入输出格式

输入格式：

共一行，一个正整数N。

输出格式：

共一行，一个数，为1~N这N个数中每任意两个不同的数的最大公约数的和。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

说明

对于40%的数据，2≤N≤2000.

对于100%的数据，2≤N≤2000000.

题解

因为只有单组询问，所以可以用各种奇怪姿势过，这里还是直接上数论。

初始式子：

ans=∑i=1n∑j=1ngcd(i,j)ans=∑i=1n∑j=1ngcd(i,j)

ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)

我们枚举最大公因数ddd：

ans=∑d=1nd∑i=1n∑j=1n[gcd(i,j)=d]" role="presentation">ans=∑d=1nd∑i=1n∑j=1n[gcd(i,j)=d]ans=∑d=1nd∑i=1n∑j=1n[gcd(i,j)=d]

ans=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=d]

日常提出ddd：

ans=∑d=1nd∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋[gcd(i,j)=1]" role="presentation">ans=∑d=1nd∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋[gcd(i,j)=1]ans=∑d=1nd∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋[gcd(i,j)=1]

ans=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}[gcd(i,j)=1]

又是日常替换[gcd(i,j)=1][gcd(i,j)=1][gcd(i,j)=1]：

ans=∑d=1nd∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋∑d′|gcd(i,j)μ(d′)ans=∑d=1nd∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋∑d′|gcd(i,j)μ(d′)

ans=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{d'|gcd(i,j)}\mu(d')

日常先枚举d′d′d'：

ans=∑d=1nd∑d′=1nμ(d′)∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋[d′|gcd(i,j)]ans=∑d=1nd∑d′=1nμ(d′)∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋[d′|gcd(i,j)]

ans=\sum_{d=1}^nd\sum_{d'=1}^n\mu(d')\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}[d'|gcd(i,j)]

再直接枚举d′d′d'的倍数：

ans=∑d=1nd∑d′=1nμ(d′)∑i=1⌊ndd′⌋∑j=1⌊ndd′⌋ans=∑d=1nd∑d′=1nμ(d′)∑i=1⌊ndd′⌋∑j=1⌊ndd′⌋

ans=\sum_{d=1}^nd\sum_{d'=1}^n\mu(d')\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{dd'}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{dd'}\rfloor}

ans=∑d=1nd∑d′=1nμ(d′)⌊ndd′⌋⌊ndd′⌋ans=∑d=1nd∑d′=1nμ(d′)⌊ndd′⌋⌊ndd′⌋

ans=\sum_{d=1}^nd\sum_{d'=1}^n\mu(d')\lfloor\frac{n}{dd'}\rfloor\lfloor\frac{n}{dd'}\rfloor

设T=dd′T=dd′T=dd'，代入，直接枚举TTT：

ans=∑T=1n∑d|Tdμ(Td)⌊nT⌋⌊nT⌋" role="presentation">ans=∑T=1n∑d|Tdμ(Td)⌊nT⌋⌊nT⌋ans=∑T=1n∑d|Tdμ(Td)⌊nT⌋⌊nT⌋

ans=\sum_{T=1}^n\sum_{d|T}d\mu(\frac{T}{d})\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{n}{T}\rfloor

由∑d|Tdμ(Td)⇔φ(T)∑d|Tdμ(Td)⇔φ(T)\sum_{d|T}d\mu(\frac{T}{d})\Leftrightarrow \varphi(T)得：

ans=∑T=1nφ(T)⌊nT⌋⌊nT⌋ans=∑T=1nφ(T)⌊nT⌋⌊nT⌋

ans=\sum_{T=1}^n\varphi(T)\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{n}{T}\rfloor

那么直接线筛φ(x)φ(x)\varphi(x)，求前缀和，乖乖ACAC\mathcal{AC}？？

然而并没有那么简单，我们多算了i=ji=ji=j的情况，并且gcd(i,j)gcd(i,j)gcd(i,j)与gcd(j,i)gcd(j,i)gcd(j,i)被重复计算，需要除以222。

代码

记得开long long" role="presentation" style="position: relative;">long longlong long\mathcal{long\ long}。

#include<bits/stdc++.h>
#define R register int
#define ll long long
using namespace std;
const int M=2e6+5,N=2e6;
int p[M],n;
ll phi[M];
bool check[M];
void get()
{R i,j,t;check[1]=phi[1]=1;for(i=2;i<=N;++i){if(!check[i])p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1;for(j=1;j<=p[0];++j){t=i*p[j];if(t>N)break;check[t]=1;if(i%p[j]==0){phi[t]=phi[i]*p[j];break;}phi[t]=phi[i]*(p[j]-1);}phi[i]+=phi[i-1];}
}
void in(){get();scanf("%d",&n);}
void ac()
{R l,r;long long ans=0;for(l=1;l<=n;l=r+1)r=n/(n/l),ans+=1ll*(phi[r]-phi[l-1])*(n/l)*(n/l);printf("%lld",(ans-1ll*n*(n+1)/2)/2);
}
int main()
{in();ac();return 0;
}