博弈论

理论铺垫：

定义P-position和N-position：其中P代表Previous，N代表Next。直观的说，上一次move的人有必胜策略的局面是P-position，即P-position代表先手必输，N-position代表先手必赢。

1.公平组合博弈(ICG)

定义：

1.两个人轮流参与； 2.游戏局面有限； 3.同一个局面两个人操作完全相同； 4.无法进行操作的人输； 5.在有限步内结束。

模型：给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。

解题思路：SG函数(Sprague-Grudy)

SG定理：

1：给定一个有限子集 S ? N,令mex S为没有出现在S中的最小自然数。例：mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

2：对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下：sg(x)=mex{ sg(y) | y是x的后继 }。即y可以一步操作到x;

SG函数性质：

1：SG值为0必败态， 否则为必胜态

2：对于一个sg(x)=0的顶点x，它的所有后继y都满足g(y)!=0。同理，对于一个sg(x)!=0的顶点，必定存在一个后继y满足g(y)=0。

例：有三堆石子，第一堆石子的可以取1、2、3个石子，则:sg[x] = x % 4；第二堆可以取奇数个石子，则sg[x] = n % 2；第三堆有n个石子，其为Nim博弈，sg值为n，将三堆的sg值全部异或一下，判断是不是0，是0则先手必败(推广到n堆其结论一样适用)。

SG函数求法

其sg函数可以通过下面的模板来求：

//f[]：可以取走的石子个数

//sg[]:0~n的SG函数值

//hash[]:mex{}

int f[N],sg[N],hash[N];

void getSG(int n)

{

int i,j;

memset(sg,0,sizeof(sg));

for(i=1;i<=n;i++)

{

memset(hash,0,sizeof(hash));

for(j=1;f[j]<=i;j++)

hash[sg[i-f[j]]]=1;

for(j=0;j<=n;j++) //求mes{}中未出现的最小的非负整数

{

if(hash[j]==0)

{

sg[i]=j;

break;

}

}

}

}

记忆化搜索求SG函数，判断该点的sg值是否为-1，如果是，则调用函数：

//注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍

//n是集合s的大小 f[i]是定义的特殊取法规则的数组

int s[110],sg[10010],n;

void SG_dfs(int x)

{

int i;

if(sg[x]!=-1)

return;

bool vis[maxn];

memset(vis,0,sizeof(vis));

for(i=1;i<=k;i++)

{

if(x>=f[i])

{

if(sg[x-f[i]]==-1)

SG_dfs(x-f[i]);

vis[sg[x-f[i]]]=1;

}

}

int e;

for(i=0;;i++)

if(!vis[i])

{

sg[x]=i;

break;

}

}

AC代码：

#include

using namespace std;

const int maxn=1e4+5;

int f[101],sg[maxn];

int k,T,tot=0,temp,inf;

void SG_dfs(int x)

{

int i;

if(sg[x]!=-1)

return;

bool vis[maxn];

memset(vis,0,sizeof(vis));

for(i=1;i<=k;i++)

{

if(x>=f[i])

{

if(sg[x-f[i]]==-1)

SG_dfs(x-f[i]);

vis[sg[x-f[i]]]=1;

}

}

int e;

for(i=0;;i++)

if(!vis[i])

{

sg[x]=i;

break;

}

}

int main()

{

//ios::sync_with_stdio(false);

while(scanf("%d",&k)&&k)

{

//memset(f,0,sizeof(f));

memset(sg,-1,sizeof(sg));

sg[0]=0;

for(int i=1;i<=k;++i){

scanf("%d",&f[i]);

}

//sort(f+1,f+k+1);

scanf("%d",&T);

while(T--)

{

tot=0;

scanf("%d",&temp);

for(int i=1;i<=temp;++i){

scanf("%d",&inf);

if(sg[inf]==-1)

SG_dfs(inf);

tot^=sg[inf];

}

!tot?cout<

}

cout<

}

system("pause");

return 0;

}

2.Bash(巴什博弈)

定义：有一堆共n个物品，两个人轮流从中间取，每次最多取m个物品，先取完的人赢。

解题思路：n对(m+1)取模，模不为0，则先手必胜，模为0，则先手必败(由SG函数知)。

3.Nim博弈(尼姆博弈)

定义：有n堆物品，两人轮流从每堆中取物品，每次最少取一个，无上限，先取完者胜利。

解题思路：所有堆的个数相异或，如果结果为0，则先手必败，不为0则先手必胜。必胜走法的方案数：将总的异或结果同每一堆相异或，如果结果小于该堆的数量，则可以从该堆取出x-x^tot个；

4.Wythoff Game(威佐夫博弈)

定义：有两堆若干个物品，两人轮流从一堆中取若干的物品或两堆取同样多的额物品，至少取一个，先取完的为胜。

解题思路：令当前局势(Ak,Bk)，则当前态势为先手必败态当且仅当Ak=((sqrt(5)+1)/2)*k、Bk=Ak+k;取出多少个则直接暴力循环判断是不是必败态即可

5.Fibonacci博弈

定义：有一堆个数为n的石子，双方轮流取石子，先手不能一次把所有石头取完，且后者取得石子的数目不能超过前者所取数目的2倍(可以包含1和2倍)。

解题思路：判断该数是不是裴波那契数列，如果是，则先手必败，否则先手必胜。