理想费米气体的量子统计推导

理想费米气体的哈密顿量可以写为

$H=\sum \varepsilon (p)a^{\dagger }_{p}a_{p}$ （1）

其中 $\varepsilon =p^{2}/2m$ p为动量

总粒子数算符定义为

$\hat{N}=\sum a^{\dagger }_{p}a_{p}$ (2)

费米产生，湮灭算符满足正对易关系

$[a_{p},a^{\dagger }_{p'}]=\delta _{pp'}$ ，以及 $[a^{\dagger }_{p},a^{\dagger }_{p'}]=[a_{p},a_{p'}]=0$

可以证明 $a^{\dagger }_{p}a_{p}$ 的本征值只有0，和1，这就是泡利不相容原理

体系的巨配分函数为 $Z=Tr (exp[-\beta (\hat{H}-\mu \hat{N})])$ (3)

由(1)(2)带入(3)有

$Z=Tr (exp[-\beta\sum (\epsilon (p)-\mu )a^{\dagger }_{p}a_{p}])$ (4)

将(4)的exp内的加号写为乘号

$Z=Tr (\prod exp[-\beta(\epsilon (p)-\mu )a^{\dagger }_{p}a_{p}])$

对于单个粒子， $a^{\dagger }_{p}a_{p}$ 的本征值只有0，和1。所以

$Z=\prod (1+exp(-\beta (\varepsilon (p)-\mu )))$

注意，这里的乘法是对所有可能的p，有了Z可以计算总的内能

单电子的平均分布就是费米狄拉克分布

最后计算中求和变为连续的积分即可得到到答案。

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