混沌：Logistic模型

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#初始值 (0-1)
x0 = 0.2
#初始值偏差
b = 0.0001
# x_t+1 = R*x_t*(1-x_t)
# 小于3 x会达到一个不动点
# 小于3.4 x形成双周期振荡
# 再大一点就会形成 4周期、8周期，等等
# 大于约3.569946时则x变为混沌
# 混沌即初始值有微小的不同，x变化会相差很大
R = 4
# 数组长度
size = 30
t = np.arange(size)
# x1
x1 = np.zeros(size)
x1[0] = x0
# x2
x2 = np.zeros(size)
x2[0] = x0+b #加上初始值偏差
for i in range(1,size):x1[i] = R*x1[i-1]*(1-x1[i-1])x2[i] = R*x2[i-1]*(1-x2[i-1])plt.plot(t,x1)
plt.plot(t,x2)
# 要放在plt.show()前，不然保存的就是空白图片
plt.savefig('1.png',dpi=500)# dpi 图片分辨率
plt.show()

R=4时表现出的混沌现象：

分叉图

#代码参考：https://ipython-books.github.io/121-plotting-the-bifurcation-diagram-of-a-chaotic-dynamical-system/
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#迭代次数
iterations = 1000
# 取多少个点
last = 100
# 取n个点
n = 20000
r = np.linspace(2.5, 4.0, n)
# x初值
x = 0.2 * np.ones(n)
fig, ax1 = plt.subplots(figsize=(16, 14), dpi=200)
for i in range(iterations):x = r * x * (1 - x)# 输出周期点if i >= (iterations - last):ax1.plot(r, x, ',k', alpha=0.5) #alpha 透明度ax1.set_title("Bifurcation diagram")
plt.grid(True)
plt.savefig('Bifurcation_diagram.png')
plt.show()

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