图像频域增强：低通滤波器

频域低通滤波

低通滤波器的功能是削弱或消除高频分量而保留低频分量。

理想低通滤波器

理想低通滤波器，模拟上容易实现，物理上无法实现。

转移函数定义：
H(u,v)={1，D(u,v)<=D00，D(u,v)>D0H(u, v) = \left\{\begin{aligned} & 1， D(u, v) <= D_0 \\ & 0，D(u, v) > D_0 \end{aligned}\right.H(u,v)={1，D(u,v)<=D00，D(u,v)>D0

D(u,v)D(u, v)D(u,v) : 是点(u, v)到频率平面原点的距离,也就是点(u,v)到频谱中心的欧氏距离。
D0D_0D0 : 带通半径。

巴特沃斯低通滤波器

巴特沃斯低通滤波器是物理上可实现的,高低频之间的过渡比较平滑。

转移函数定义为:

H(u,v)=11+[D(u,v)D0]2nH(u, v) = \frac{1}{1 + \Big[\frac{D(u, v)}{D_0}\Big]^{2n}}H(u,v)=1+[D0D(u,v)]2n1

D0D_0D0 : 常用的截断频率为：Dmax(u,v)×12D_{max}(u, v) \times \frac{1}{\sqrt{2}}Dmax(u,v)×21

高斯低通滤波器

H(u,v)=e−D(u,v)22D02H(u, v) = e^{\frac{-{D(u, v)}^2}{2{D_0}^2}}H(u,v)=e2D02−D(u,v)2

Opencv+Numpy实现低通滤波

import cv2 as cv
import numpy as np
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

img = cv.imread('./images/kxxx.png')
img = cv.cvtColor(img, cv.COLOR_BGR2RGB)
img_gray = cv.cvtColor(img, cv.COLOR_RGB2GRAY)

测试用例(美剧杀出个黎明):

傅里叶变换：

dft = cv.dft(img_gray.astype('float32'),flags = cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)           # 傅里叶变换(Opencv是用深度为2数组表示复数)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)                                                 # 移动零频分量
magnitude_spectrum = cv.magnitude(dft_shift[:,:,0], dft_shift[:,:,1])
log_magnitude_spectrum = 20*np.log(magnitude_spectrum)  # 幅值对数变换

理想LPF

H(u,v)={1，D(u,v)<=D00，D(u,v)>D0H(u, v) = \left\{\begin{aligned} & 1， D(u, v) <= D_0 \\ & 0，D(u, v) > D_0 \end{aligned}\right.H(u,v)={1，D(u,v)<=D00，D(u,v)>D0

def lpf(dft_shift, r=100):m, n, _ = dft_shift.shapecenter = (m//2, n//2)mask = np.zeros_like(dft_shift)x_arr = np.concatenate([np.arange(m).reshape(m, 1)], axis=1)y_arr = np.concatenate([np.arange(n).reshape(1, n)], axis=0)dist = np.sqrt((x_arr - center[0])**2 + (y_arr - center[1])**2)mask[dist <= r] = 1return mask

huv = lpf(dft_shift)                        # 转移函数（算子/模)
lpf_dft_shift = dft_shift * huv             # 低通滤波
lpf_magnitude_spectrum = cv.magnitude(lpf_dft_shift[:,:,0], lpf_dft_shift[:,:,1])
log_lpf_magnitude_spectrum = 20*np.log(lpf_magnitude_spectrum+1) # 幅值对数变换
lpf_dft = np.fft.ifftshift(lpf_dft_shift)         # 还原频谱图
img_ = cv.idft(lpf_dft)                           # 逆傅里叶变换
img_lpf = cv.magnitude (img_[:,:,0],img_[:,:,1])  # 还原图像

理想转移函数

滤波效果：

巴特沃斯低通滤波

H(u,v)=11+[D(u,v)D0]2nH(u, v) = \frac{1}{1 + \Big[\frac{D(u, v)}{D_0}\Big]^{2n}}H(u,v)=1+[D0D(u,v)]2n1

def bw_lpf(dft_shift, r=100, N=1):m, n, _ = dft_shift.shapecenter = (m//2, n//2)mask = np.ones_like(dft_shift)x_arr = np.concatenate([np.arange(m).reshape(m, 1)], axis=1)y_arr = np.concatenate([np.arange(n).reshape(1, n)], axis=0)dist = np.sqrt((x_arr - center[0])**2 + (y_arr - center[1])**2).reshape(m, n, 1)mask = 1/(1+(dist/r)**(2*N))return mask

巴特沃斯转移函数

高斯低通滤波

H(u,v)=e−D(u,v)22D02H(u, v) = e^{\frac{-{D(u, v)}^2}{2{D_0}^2}}H(u,v)=e2D02−D(u,v)2

def gaussian_lpf(dft_shift, r=100):m, n, _ = dft_shift.shapecenter = (m//2, n//2)x_arr = np.concatenate([np.arange(m).reshape(m, 1)], axis=1)y_arr = np.concatenate([np.arange(n).reshape(1, n)], axis=0)dist_square = np.sqrt((x_arr - center[0])**2 + (y_arr - center[1])**2).reshape(m, n, 1)mask = np.exp(-1*dist_square/(2*r*r))return mask

高斯转移函数

从测试的结果可以看出，在屏蔽部分高频分量后，图像开始变得有些模糊。以及在相同的带通半径下，巴特沃斯滤波器最接近理想低通滤波器。