大一上学期高数期中复习 高数叔复习笔记
啊啊啊啊我不想重开啊
好好复习!!!!!
大一上期中求过
间断点
出题形式:
判断间断点的方法
对于一些特殊的
对于这种:arctan1/x
我们也要考虑左右极限的情况:
习题:
1.
步骤1求间断点
步骤二求对应间断点的极限
当趋近于这个间断点的时候求极限
间断点1
存在极限2 那么就可以推出左右极限都存在且相等
但是在x==1处 无定义
那么为第一类可去间断点
间断点2的极限趋近于无穷大 那么极限不存在
为第二类无穷间断点
总结:
间断点的意思就是函数式在这一点处取不到 即是无定义
1.左右极限存在 那么为第一类间断点
2.左右极限只要有一个不存在 那么就为第二类间断点
例二:
步骤1 先看看这个函数在哪个点处是无定义的
步骤二:求趋近于间断点时 函数式的极限
根据极限的值 来判断间断点的类型
存在则为第一类 左右极限相等则为可去 反之为跳跃
极限不存在时
为第二类间断点
例三:
这个题要判断左右极限的值
分段函数要在分段点处判断
零点定理:
介值定理:
解题步骤:
例题:
解答:
例子:介值定理:
渐近线:
例子:
找渐近线的时候:
我们看它是否可以趋近于一个值或者无穷
看极限趋近于这两个时 对应的x值是取多少
当求极限时:
出现分子分母之比等于无穷大/无穷大 时
我们采用抓大头的方法
分子分母同除最高次方
间断点:
形式1:
A(x)/B(x)类型:
0/0型:可去间断点
k/0型:无穷间断点
步骤1 :先找出函数式无定义的点
步骤二:在x趋近于间断点的时候 看看极限
例子:
出现:
这种题型得考虑左右极限:
零点定理:
7
零点题型:
1.构造函数
2.带端点到函数判断符号
找渐近线的时候:
1.找x趋近于无穷时找水平渐近线
2.找极限趋近于无穷时找铅直渐近线
导数:
1.可导必连续
当减去的右值也是一个变量的时候
我们只能大刀阔斧进行改变
计算题必须写这样的过程
但是填空题可省略过程
注意:
可导必连续
何为连续?极限存在时 即为连续
连续不一定可导
但是当分段的时候
我们就要针对左右导数同时进行判断
连续性和可导性:
例子:
在1处可导·那么在1处一定是连续的
连续那么对于分段函数来说左右极限都相等
可导也一样
左右导数也是相等
一定要发现连续这个性质
可导必连续 连续不一定可导
注意:
分段函数:
开区间直接求导
分段点处我们要用定义来求导
用定义证明
复合函数求导:
二阶导:
结论:
习题:
由于在0处的导数值极限不存在
因此它在0处是不可导的
变式:
常用函数的阶导
莱布尼兹公式:
那么遇到一个高阶求导:
怎么判断U怎么判断V呢?
一般来说:U是比较好求导的那个
V是随着求导次方逐渐降低的
例子:
一般来说:U是比较好求导的那个
V是随着求导次方逐渐降低的
所以这里把可以降次数的x设置为v
因为lnx的n阶导容易求出来
因此把lnx设置为u
隐函数:
例题:
隐函数求导:
对方程两边分别进行求导运算
对数求导:
先对这个复杂的式子进行两边取对数
然后两边进行求导
参数函数求导:
例子:
注意:
这里的dy/dx是y与x的函数式分别进行求导然后进行比值
而不是下图所示
参数方程求二阶导:
一阶导再求一次导/x对t求一次导
P8
对于幂函数 我们取对数求导:
参数方程的一阶导等于:对y表达式进行求导再比上对x进行求导
二阶导:对一阶导表达式求导比上对x表达式进行求导
罗尔定理:
当出现表达式相减的时候
我们想着构造函数 利用拉格朗日中值定理
泰勒公式:
‘尽量背下来:
例子:
展开三阶泰勒公式
拉格朗日余项是四阶导数的
所以要多求一阶的导数
按照x-2展开之后
我们可以知道带入的是f(2)
求佩亚诺型余项是不需要求多一项的
展开到n阶的麦克劳林公式
麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊情况
当x0=0时进行的展开
那么e的x次方只要展开到n-1阶就可以了
麦克劳林公式的余项是佩亚诺型余项
罗尔定理:
柯西中值定理:
利用公式:间接法
洛必达:
这一种情况分子分母都趋近于无穷大
但是分子与分母都是震荡变化的 因此求导之后极限是不存在的
那么我们就采用抓大头的方法
找到变化速率最快的x
分子分母同时除以x得出结果
注意:
拐点一定是坐标的形式
作图的步骤:
习题:
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