漫步线性代数一—

我们以线性代数的中心问题开启我们的航程：解决线性方程。最重要并且也是最简单的情况就是位置函数的数目等于方程的数目。现在我们有包含nn个未知变量的nn个方程，首先从n=2n=2开始：

1x+2y=34x+5y=6(1)

\begin{equation} 1x+2y=3\\ 4x+5y=6\tag1 \end{equation}未知变量是 x,yx,y。我打算用消元和行列式两种方式来求解方程。当然 x,yx,y由 1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6这些数确定，问题就是如何利用这六个数求解出方程。

消元第二个方程减去第一个方程的四倍。从而消去第二个方程中的xx，只留下了关于yy的方程：

(方程2)−4(方程1)−3y=−6(2)

\begin{equation}(\text{方程2})-4(\text{方程1})\qquad -3y=-6\tag2\end{equation}这样就得到y=2y=2。然后xx从第一个方程1x+2y=31x+2y=3计算出来：

1x+2(2)=3x=−1(3)

\begin{equation}1x+2(2)=3\qquad x=-1\tag3\end{equation}计算出来后，x,yx,y也应该满足第二个方程。代入得：4×(−1)+5×2=64\times (-1)+5\times 2=6
行列式 y=2y=2完全依赖于方程中的六个数。对于yy存在一个公式(当然xx也有)，是两个行列式的比值：

y=∣∣∣1436∣∣∣∣∣∣1425∣∣∣=1⋅6−3⋅41⋅5−2⋅4=−6−3=2(4)

\begin{equation}y=\frac{\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2\\4&5\end{vmatrix}}=\frac{1\cdot 6-3\cdot 4}{1\cdot 5-2\cdot 4}=\frac{-6}{-3}=2\tag4\end{equation}如果你知道2×22\times 2方阵的行列式，那么它就没有那么神秘了。它同样给出了解y=2y=2。同样利用行列式，我们可以求出xx：

x=∣∣∣3625∣∣∣∣∣∣1425∣∣∣=3⋅5−2⋅61⋅5−2⋅4=3−3=−1(5)

\begin{equation}x=\frac{\begin{vmatrix}3&2\\6&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2\\4&5\end{vmatrix}}=\frac{3\cdot 5-2\cdot 6}{1\cdot 5-2\cdot 4}=\frac{3}{-3}=-1\tag5\end{equation}

我们来比较这两种方法，考虑nn非常大(在科学计算中n=1000n=1000是非常适中的大小)。事实就是直接对1000个方程使用行列式将是一个大灾难。左边将会有百万级别的数目，既然是正确的，但是效率很低。之后会提到该公式如何得到(克莱姆法则)，但是目前我们需要一个很好的办法来解决这1000个方程。

最好的办法是高斯消元法。这个算法一直被用于解决大型的方程组。以后的大部分例子都是n=3n=3，这是看不出太大区别。方程(2)(4)(2)(4)基本使用相同的步骤得到y=2y=2。之后通过回带到方程(3)中很快得出xx。对于更大的nn值，依然有效。消去法比计算行列式要好。

消去法的想法看起来很简单，通过几个例子就能掌握它。它是非常基础的内容，通过简化矩阵我们就能理解它。在此我想讲四点更深层次的内容：

线性代数带来了平面几何。在十维空间中可视化九维平面不太容易。而理解相交于十个方程解的那些平面更难。但是不见得是不可能的。在图1 中有两条直线，相交于点(x,y)=(−1,2)(x,y)=(-1,2)。线性代数将图像放到十维空间里，在这个空间里，我们的直觉不得不去想象其几何形状。

图1：左边是例子的单个解，中间和右边是奇异情况，分别是无解和多个解
现在考虑矩阵符号，将nn个未知量表示成向量xx，nn个方程表示成Ax=bAx=b。我们用消去矩阵乘以AA得到上三角矩阵UU。这些步骤将矩阵AA分解为L×UL\times U，其中LL是下三角矩阵：

A=∣∣∣1425∣∣∣=∣∣∣1401∣∣∣∣∣∣102−3∣∣∣=L×U(6)

\begin{equation}A=\begin{vmatrix}1&2\\4&5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0\\4&1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}1&2\\0&-3\end{vmatrix}=L\times U\tag6\end{equation}首先我们需要介绍矩阵和向量以及乘法规则。每个矩阵都存在转置ATA^{\mathrm{T}}。这个矩阵还存在逆矩阵A−1A^{-1}
大部分情况下，消去法不会存在问题。矩阵可逆的话，方程Ax=bAx=b还有一个解。但是在特殊的情况下这种方法就被打破了，既可能是方程组的顺序出错(通过交换一笑就能产生)，也可能是方程没有唯一解。如果将例子中的5换成8，就出现了奇异的情况：

1x+2y=34x+8y=6(7)

\begin{equation}1x+2y=3\\4x+8y=6\tag7\end{equation}消去法依然用第二个减去第一个的四倍，那么结果是：

(方程2)−4(方程1)0=−6

(\text{方程2})-4(\text{方程1})\qquad 0=-6
对于nn个方程组，我们希望粗略算出需要多少步消去运算。计算代价经常决定着模型的精度。一百个方程需要一百万步(乘法和减法)的三分之一。计算机可以很快地计算出来。在一百步之后，舍入误差就已经很明显了。(有些问题敏感，而有些不敏感)在不知道全部细节的情况下，我们想明白实际中出现的大型系统以及他们是如何被解决的。

之后我会尽可能有效的介绍消去算法。这个算法用于各种各样的应用中，同时，用矩阵的方式(系数矩阵AA，消去矩阵EE，行交换矩阵PP以及因子L,UL,U)理解它也是非常重要的。我希望接下来的一系列文章能够让大家感到轻松。

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漫步线性代数一——引言

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