1. 实验结果

（1）解如下常微分方程：

（2）分别使用向前 Euler 法、向后 Euler 法、梯形方法、改进的 Euler 方法以及四阶 Runge_Kutta 方法，结果如下图所示：

由结果可以发现，向前 Euler 法、向后 Euler 法和准确值的误差比较大，梯形方法、改进的 Euler 方法以及四阶 Runge_Kutta 方法和准确值更为接近，并且在该微分方程中的效果相差不大。
（3）因为上图中梯形方法、改进的 Euler 方法以及四阶 Runge_Kutta 方法的重叠，单独的结果如下图：

2. 代码

test.py

from class6 import odeode = ode()  ode.shows()

class6.py

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltclass ode(object):"""包括: 1. 显示Euler; 2. 隐式Euler; 3. 梯形方法; 4. 改进Euler方法; 5. Runge-Kutta方法(四阶)"""def __init__(self):# 初始值self.y0 = 1# 区间[a,b]self.a = 0self.b = 1# 步长self.h = 0.1# 定义常微分方程def ODE(self, x, y):f = -y + x + 1return f# 计算准确值def acc(self, x):# 方程真解为 y = exp(-x)+xacc = math.exp(-x)+xreturn acc# 1. 显示Euler法def Euler_forward(self):yn = self.y0xn = self.aaccuracy = []Euler_forward = []x = []while xn <= 1:Euler_forward.append(yn)accuracy.append(self.acc(xn))  x.append(xn)f = self.ODE(xn, yn)# 显示Euler方法: y(n+1) = yn + hf(x(n+1),y(n+1)) , x(n+1) = x0 + (n+1)*h = x(n) + hyn = yn + self.h * fxn = xn + self.hreturn x, Euler_forward, accuracy# 2. 隐式Eulerdef Euler_back(self):yn = self.y0xn = self.aEuler_back = []x = []while xn < 1:xn1 = xn + self.h# 隐式Euler方法: y(n+1) = yn + hf(x(n+1),y(n+1)) , x(i) = x0 + i*h = xn + h# 由公式计算可得: y(n+1) = (h*x(n+1)+yn+h)/(1+h)yn = (self.h*xn1 + yn + self.h) / (1 + self.h)Euler_back.append(yn)x.append(xn1)xn = xn1return x, Euler_back# 3. 梯形方法def trapezoid(self):yn = self.y0xn = self.atrapezoid = []x = []while xn < 1:xn1 = xn + self.hf = self.ODE(xn, yn)ynn = yn + self.h * fynnn = (self.h*xn1 + yn + self.h) / (1 + self.h)#  梯形公式: 向前Euler法和向后Euler方法做算术平均yn = (ynn + ynnn) / 2trapezoid.append(yn)x.append(xn1)xn = xn1return x, trapezoid# 4. 改进Euler方法def impr_Euler(self):yn = self.y0xn = self.aimpr = []x = []while xn < 1:xn1 = xn + self.hf = self.ODE(xn, yn)ynn = yn + self.h * f  f1 = self.ODE(xn1, ynn)#  改进的Euler公式: 用显示公式作预估，用梯形公式作校正yn = yn + self.h*(f + f1) / 2impr.append(yn)x.append(xn1)xn = xn1return x, impr# 5. Runge-Kutta方法(四阶)def R_K(self):yn = self.y0xn = self.aR_K = []x = []while xn < 1:R_K.append(yn)x.append(xn)k1 = self.ODE(xn, yn)k2 = self.ODE(xn, yn) + self.h/2 - self.h*k1/2k3 = self.ODE(xn, yn) + self.h/2 - self.h*k2/2k4 = self.ODE(xn, yn) + self.h - self.h*k3#  四阶R_K公式: y(n+1) = yn + h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6yn = yn + self.h * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6xn = xn + self.hreturn x, R_Kdef shows(self):# 绘制图像x1, Euler_forward, accuracy = self.Euler_forward()x2, Euler_back = self.Euler_back()x3, trapezoid = self.trapezoid()x4, impr_Euler = self.impr_Euler()x5, R_K = self.R_K()plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 用来正常显示中文标题plt.plot(x1, Euler_forward, 'o', c='r', label='向前Euler法')plt.plot(x2, Euler_back, 'v', c='b', label='向后Euler法')plt.plot(x3, trapezoid, 's', c='g', label='梯形方法')plt.plot(x4, impr_Euler, 'p', c='y', label='改进的Euler方法')plt.plot(x5, R_K, '*', c='m', label='四阶R_K方法')plt.plot(x1, accuracy, c='k', label='精确解')plt.title('dy/dx=x-y-1  y(0)=1  [0,1]', fontsize=19)plt.xlim(-0.01, 1.01)plt.ylim(0.98, 1.4)plt.xlabel('x轴', fontsize=19)plt.ylabel('y轴', fontsize=19)plt.legend()  plt.grid()    plt.show()

Python06 向前Euler法、向后Euler法、梯形方法、改进的Euler方法以及四阶Runge_Kutta方法(附代码)相关推荐

单链表基本操作的实现——前插法与后插法创建单链表
一.前插法创建单链表算法步骤: (1)创建一个只有头结点的空链表. (2)根据创建链表包括的元素n,循环n次以下操作: 生成新结点:-->输入元素值赋给新结点数据域:-->将新结点插入到 ...
数据结构—链表的前插法与后插法
在进行单链表的基本运算之前必须先建立单链表,建立单链表的常用方法有两种:头插法建表和尾插法建表头插法建表,从一个空表开始,读取字符数组a中的字符,生成新节点,将读取的数据存放到新节点的数据域中,然后 ...
求全排序的经典算法“后补法”
//用于求全排序的经典算法"后补法",代码如下: #include <stdio.h> #include <conio.h> #include <st ...
FTP口令受到穷举法暴力***后的蛛丝马迹
FTP口令受到穷举法暴力***后的蛛丝马迹在电脑网络时代,大家不可避免地会接触到有关***的世界,特别是对于网络管理员.******网络和系统的方法,是五花八门的.同时也千变万化,并且随着网络 ...
最大似然法和最小二乘法,最大后验法之间的关系
内容导读: 1.最大似然法 2.最小二乘法 3.最大后验法 4.最大似然法和最小二乘法的统一 5.最大似然法和最大后验法的关系一.最大似然法最大似然法认为,我们多次观察到的结果就是最可能发生的结果 ...
单链表的前插法和后插法
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> typedef struct Link{int elem;struct Link *next; }li ...
链表笔记（前插法后插法头插法尾插法）
链表链表是一种物理存储单元上非连续.非顺序的存储结构,数据元素的逻辑顺序是通过链表中的指针链接次序实现的.链表由一系列结点(链表中每一个元素称为结点)组成,结点可以在运行时动态生成.每个结点包括两个 ...
双向链表的前插法和后插法创建
根据结点插入位置的不同,链表的创建方法可分为前插法和后插法前插法前插法是通过将新节点逐个插入链表的头部(头节点之后)来创建链表,每次申请一个新节点,读入相应的数据元素值,然后将新节点插入到头节点之 ...
单链表的前插法和后插法创建
根据结点插入位置的不同,链表的创建方法可分为前插法和后插法前插法前插法是通过将新节点逐个插入链表的头部(头节点之后)来创建链表,每次申请一个新节点,读入相应的数据元素值,然后将新节点插入到头节点之 ...

Python06 向前Euler法、向后Euler法、梯形方法、改进的Euler方法以及四阶Runge_Kutta方法(附代码)

1. 实验结果

2. 代码

test.py

class6.py

Python06 向前Euler法、向后Euler法、梯形方法、改进的Euler方法以及四阶Runge_Kutta方法(附代码)相关推荐

最新文章

热门文章