数据结构之二叉树的定义和性质

通过上一节讲解，我们知道通用树结构是采用双亲孩子表示法模型建立的。每个结点都有一个指向其双亲的指针，每个结点都有

若干个指向其孩子的指针。如下图：

整体实现起来比较复杂，今天我们来讲一下另一种树结构模型：孩子兄弟表示法模型。每个结点都有一个指向其第一个孩子的指

针，每个结点都有一个指向其第一个右兄弟的指针。如下图：

孩子兄弟表示法:每个结点包含一个数据指针和两个结点指针。

1. 数据指针：指向保存于树中的数据；

2. 孩子结点指针：指向第一个孩子；

3. 兄弟结点指针：指向第一个右兄弟。

如下图：

孩子兄弟表示法的特点：

1.能够表示任意的树形结构；

2. 每个结点中有且仅有三个指针域，数据指针，孩子结点指针，兄弟结点指针；

3. 每个结点的结构简单，只有孩子结点指针和兄弟结点指针构成了“树杈”。

孩子兄弟表示法的本质是将通用树转化为二叉树，二叉树是最多只有两个孩子的树。

二叉树的定义：二叉树是由 n ( n ≥0 ) 个结点组成的有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根结点加上两棵分别称为左子树

和右子树的、互不相交的二叉树组成。

二叉树有如下不同的5中状态：空二叉树、仅有根结点的二叉树、右子树为空的二叉树、左子树为空的二叉树以及左、右子树均

非空的二叉树。如下图：

当然二叉树还有比较特殊的二叉树，比如满二叉树和完全二叉树。

满二叉树 (FullBinary Tree)：如果二叉树中所有分支结点的度数都为2，且叶子结点都在同一层次上（即一颗深度为k且有2^k-1个

结点的二叉树），则称这类二叉树为满二叉树。满二叉树的特点就是每一层的结点数都是最大节点数。

完全二叉树(Complete Binary Tree)：如果一棵具有n个结点的高度为k的二叉树，它的每一个结点都与高度为k的满二叉树中编

号为1—n的结点一一对应，则称这棵二叉树为完全二叉树。（从上到下从左到右编号）。

完全二叉树的叶结点仅出现在最下面两层：

1.最下层的叶结点一定出现在左边；

2.倒数第二层的叶结点一定出现在右边。

完全二叉树中度为1的结点只有左孩子，同样结点数的二叉树，完全二叉树的高度最小。

上面我们总结了二叉树的定义，接下来我们说一说二叉树的性质。

二叉树的深层性质：

性质1：在二叉树的第 i层最多有 2^i-1个结点(i ≥ 1)。

• 第一层最多有 2^1-1=1个结点。

• 第二层最多有 2^2-1=2个结点。

• 第三层最多有 2^3-1=4个结点。

• ……

性质2: 深度为 k的二叉树最多有 2^k-1个结点(k ≥ 0)。

• 如果有一层，最多有 1=2¹-1=1个结点。

• 如果有两层，最多有 1+2=2²-1=3 个结点。

• 如果有三层，最多有 1+2+4=2³-1=7 个结点。

• ……

性质3:对任何一棵二叉树，如果其叶结点有n₀个，度为2的非叶结点有 n₂个，则有 n₀＝n₂＋1。

证明：假设二叉树中度1的结点有 n₁个且总结点为n个，则：n=n₀+n₁+n₂。

假设二叉树中连接父结点与子结点间的边为 e条，则：e=n₁+2n₂ = n – 1。

所以：n₀＝n₂＋1。

性质4：具有 n个结点的完全二叉树的高度为

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