女主宣言

今天小主为大家分享一篇转自简书的文章：关于数据分析、机器学习领域“决策树”的概念，读完这篇文章相信在我们日常工作中会有一定的启发。

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介绍

文章的结构：

• 是什么？

• 有什么算法？

• 数学原理？

• 编码实现算法？

1

是什么？

简单地理解，就是根据一些 feature 进行分类，每个节点提一个问题，通过判断，将数据分为几类，再继续提问。这些问题是根据已有数据学习出来的，再投入新数据的时候，就可以根据这棵树上的问题，将数据划分到合适的叶子上。

2

有什么算法？

常用的几种决策树算法有ID3、C4.5、CART：

ID3：选择信息熵增益最大的feature作为node，实现对数据的归纳分类。
C4.5：是ID3的一个改进，比ID3准确率高且快，可以处理连续值和有缺失值的feature。
CART：使用基尼指数的划分准则，通过在每个步骤最大限度降低不纯洁度，CART能够处理孤立点以及能够对空缺值进行处理。

3

数学原理？

ID3: Iterative Dichotomiser 3

下面这个数据集，可以同时被上面两颗树表示，结果是一样的，而我们更倾向于选择简单的树。
那么怎样做才能使得学习到的树是最简单的呢？

下面是 ID3（ Iterative Dichotomiser 3 ）的算法：

例如下面数据集，哪个是最好的 Attribute？

用熵Entropy来衡量：
E(S) 是数据集S的熵
i 指每个结果，即 No，Yes的概率

E越大意味着信息越混乱，我们的目标是要让E最小。
E在0-1之间，如果P＋的概率在0.5， 此时E最大，这时候说明信息对我们没有明确的意义，对分类没有帮助。

但是我们不仅仅想要变量的E最小，还想要这棵树是 well organized。
所以用到 Gain：信息增益

意思是如果我后面要用这个变量的话，它的E会减少多少。

例如下面的数据集：

1. 先计算四个feature的熵E，及其分支的熵，然后用Gain的公式计算信息增益。

2. 再选择Gain最大的特征是 outlook。

3. 第一层选择出来后，各个分支再继续选择下一层，计算Gain最大的，例如分支 sunny 的下一层节点是 humidity。

C4.5

ID3有个局限是对于有大量数据的feature过于敏感，C4.5是它的一个改进，通过选择最大的信息增益率 gain ratio 来选择节点。而且它可以处理连续的和有缺失值的数据。

P’ (j/p) is the proportion of elements present at the position p, taking the value of j-th test.

例如 outlook 作为第一层节点后，它有 3 个分支，分别有 5，4，5 条数据，则 SplitInfo(5,4,5) = -5/14log(5,14)-4/14log(4,14)-5/14(5,14) ，其中 log(5,14) 即为 log2(5/14)。

下面是一个有连续值和缺失值的例子：

连续值
第一步计算 Gain，除了连续值的 humudity，其他步骤和前文一样。

要计算 humudity 的 Gain 的话，先把所有值升序排列：
{65, 70, 70, 70, 75, 78, 80, 80, 80, 85, 90, 90, 95, 96}
然后把重复的去掉：
{65, 70, 75, 78, 80, 85, 90, 95, 96}
如下图所示，按区间计算 Gain，然后选择最大的 Gain (S, Humidity) = 0.102

因为 Gain(S, Outlook) = 0 .246，所以root还是outlook：

缺失值
处理有缺失值的数据时候，用下图的公式：

例如 D12 是不知道的。

1. 计算全集和 outlook 的 info，

   

2.  其中几个分支的熵如下，再计算出 outlook 的 Gain：

比较一下 ID3 和 C4.5 的准确率和时间：

accuracy ：

execution time：

4

编码实现算法？

接下来以 C4.5 的代码为例：

1. 定义数据：

def createDataSet():
    dataSet = [[0, 0, 0, 0, 'N'],
               [0, 0, 0, 1, 'N'],
               [1, 0, 0, 0, 'Y'],
               [2, 1, 0, 0, 'Y'],
               [2, 2, 1, 0, 'Y'],
               [2, 2, 1, 1, 'N'],
               [1, 2, 1, 1, 'Y']]
    labels = ['outlook', 'temperature', 'humidity', 'windy']
    return dataSet, labels

2. 计算熵：

def calcShannonEnt(dataSet):
    numEntries = len(dataSet)
    labelCounts = {}
    for featVec in dataSet:
        currentLabel = featVec[-1]
        if currentLabel not in labelCounts.keys():
            labelCounts[currentLabel] = 0
        labelCounts[currentLabel] += 1      # 数每一类各多少个， {'Y': 4, 'N': 3}
    shannonEnt = 0.0
    for key in labelCounts:
        prob = float(labelCounts[key])/numEntries
        shannonEnt -= prob * log(prob, 2)
    return shannonEnt

3. 选择最大的gain ratio对应的feature：

def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):
    numFeatures = len(dataSet[0]) - 1                         #feature个数
    baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet)              #整个dataset的熵
    bestInfoGainRatio = 0.0
    bestFeature = -1
    for i in range(numFeatures):
        featList = [example[i] for example in dataSet]  #每个feature的list
        uniqueVals = set(featList)                                   #每个list的唯一值集合                 
        newEntropy = 0.0
        splitInfo = 0.0
        for value in uniqueVals:
            subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value)  #每个唯一值对应的剩余feature的组成子集
            prob = len(subDataSet)/float(len(dataSet))
            newEntropy += prob * calcShannonEnt(subDataSet)
            splitInfo += -prob * log(prob, 2)
        infoGain = baseEntropy - newEntropy                #这个feature的infoGain
        if (splitInfo == 0): # fix the overflow bug
            continue
        infoGainRatio = infoGain / splitInfo                     #这个feature的infoGainRatio      
        if (infoGainRatio > bestInfoGainRatio):              #选择最大的gain ratio
            bestInfoGainRatio = infoGainRatio
            bestFeature = i                                              #选择最大的gain ratio对应的feature
    return bestFeature

4. 划分数据，为下一层计算准备:

def splitDataSet(dataSet, axis, value):
    retDataSet = []
    for featVec in dataSet:
        if featVec[axis] == value:                      #只看当第i列的值＝value时的item
            reduceFeatVec = featVec[:axis]              #featVec的第i列给除去
            reduceFeatVec.extend(featVec[axis+1:])
            retDataSet.append(reduceFeatVec)            
    return retDataSet

5. 多重字典构建树：

def createTree(dataSet, labels):
    classList = [example[-1] for example in dataSet]         # ['N', 'N', 'Y', 'Y', 'Y', 'N', 'Y']
    if classList.count(classList[0]) == len(classList):
        # classList所有元素都相等，即类别完全相同，停止划分
        return classList[0]                                  #splitDataSet(dataSet, 0, 0)此时全是N，返回N
    if len(dataSet[0]) == 1:                                 #[0, 0, 0, 0, 'N']
        # 遍历完所有特征时返回出现次数最多的
        return majorityCnt(classList)
    bestFeat = chooseBestFeatureToSplit(dataSet)             #0－> 2   
        # 选择最大的gain ratio对应的feature
    bestFeatLabel = labels[bestFeat]                         #outlook -> windy     
    myTree = {bestFeatLabel:{}}                   
        #多重字典构建树{'outlook': {0: 'N'
    del(labels[bestFeat])                                    #['temperature', 'humidity', 'windy'] -> ['temperature', 'humidity']        
    featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet]  #[0, 0, 1, 2, 2, 2, 1]     
    uniqueVals = set(featValues)
    for value in uniqueVals:
        subLabels = labels[:]                                #['temperature', 'humidity', 'windy']
        myTree[bestFeatLabel][value] = createTree(splitDataSet(dataSet, bestFeat, value), subLabels)
            # 划分数据，为下一层计算准备
    return myTree

6. 可视化决策树的结果:

dataSet, labels = createDataSet()
labels_tmp = labels[:]
desicionTree = createTree(dataSet, labels_tmp)
treePlotter.createPlot(desicionTree)

总结

决策树（decision tree）是一类常见的机器学习方法。决策树是一个预测模型；他代表的是对象属性与对象值之间的一种映射关系。树中每个节点表示某个对象，而每个分叉路径则代表的某个可能的属性值，而每个叶结点则对应从根节点到该叶节点所经历的路径所表示的对象的值。决策树仅有单一输出，若欲有复数输出，可以建立独立的决策树以处理不同输出。 数据挖掘中决策树是一种经常要用到的技术，可以用于分析数据，同样也可以用来作预测。

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