红黑树是许多“平衡的”查找树中的一种，它能保证在最坏的情况下，基本的动态集合操作（插入和删除）的时间为O（lgh）。我们先简单叙述二叉查找树的性质。

1.1 二叉查找树

二叉查找树性质：设x为二叉树中的任一结点，那么对于x左子树中的任一结点y都有key[y]≤key[x],x右子树中的任一结点y都有key[x]≤key[y]。

设二叉树高度为h，下面是各个操作的算法时间复杂度：

静态操作：查找结点、找前驱、后继等时间为O(h)

动态操作：插入和删除结点等时间为O(h)

对于插入操作，新结点总是插入在某个叶结点位置；对于删除操作需依被删结点z的情况而定:

①z无左右孩子

②z只有一个孩子

③z的左右孩子均存在

1.2 红黑树

1.2.1红黑树的特性

红黑树首先是一棵二叉查找树，所以二叉查找树的所有性质红黑树都具有，此外还有自身五个性质：

①每个结点要么是黑色要么是红色

②树根结点的颜色为黑色

③叶结点(nil)为黑色

④如果某个结点为红色，则它的左、右孩子结点均为黑色

⑤对树中任一结点，所有从该结点出发到其叶结点的路径中均包含相同数目的黑色结点

外部结点(external node，叶节点):不包含实际关键字

内部结点(internal node):包含实际关键字

分别代表：双亲，保存的值，左孩子，右孩子，颜色。

黑高度(Black height)：黑高度bh(x)表示从x结点出发(不包含x结点)到其叶结点路径上的黑色结点个数。

Thearem1：具有n个内部结点的红黑树高度最多为2lg(n+1)。

proof：设红黑树的高度为h，即要证明h≤2lg(n+1)。

一个简单的数学归纳法，直接把老师的屁屁踢图片放上了。

由该定理大致猜到，动态集合操作的插入和删除都可以在O（lgn）时间内完成。

1.2.2 红黑树的调整操作

旋转(rotate)分为两种：左旋和右旋操作。

左旋的伪码。

一个实际操作：

1.2.3 红黑树的插入操作

插入一个新结点分为二步完成：

1. 按照二叉查找树的方式插入新结点z

2. 恢复红黑树的特性

首先检查红黑树5个特性可能遭受破坏的情况，然后针对遭受破坏的特性制定具体恢复的策略。（这里是将插入点置为红色会产生下列情况，若置插入点为黑色，则性质⑤容易被破坏，所以我们置插入点为红色，这样就避免破坏性质⑤）

①每个结点要么是黑色要么是红色（未被破坏）

②树根结点的颜色为黑色（有可能被破坏，但修复很简单）

③叶结点(nil)为黑色（未被破坏）

④如果某个结点为红色，则它的左、右孩子结点均为黑色（有可能被破坏）

⑤对树中任一结点，所有从该结点出发到其叶结点的路径中均包含相同数目的黑色结点（未被破坏）

因此我们需要修复的只可能是第②和④条性质。伪码如下。

else same as那里是指镜像的情况，所有的left和right都镜像变成right和left。

该算法在每次迭代的开头保持下列三个部分的不变式：

①节点z是红色的

②如果z.p是根节点，则z.p是黑节点

③若有任何红黑树的性质被破坏，则至多只有一条性质被破坏，或者是性质2，或者是性质4。（事实上，性质2被破坏，是由于z是根节点且是红节点。如果性质4被破坏，其原因是z和z.p都是红节点。）

下面用一个例子实际操作一下这段代码，简单顺一下这个过程。

以一个实际例子来说明如何从头开始生成一棵红黑树。首先是一份小总结。

1.2.4 红黑树的删除

这东西是真的繁琐，不写了，有需要再看。还有红黑树的应用什么的，假期再补上吧。

下面是一篇写的很好的文章。

程序员吴师兄：我画了 20 张图，给女朋友讲清楚红黑树​zhuanlan.zhihu.com

忘掉了，还有个需要注意的地方，写在最后。

这个图b）里注意看根节点，它有一个父节点，是个空的黑节点。

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下午写流，然后晚做周一要讲的数据挖掘竞赛的PPT。期末复习真的好烦啊，没时间做自己想学的东西。