【宫水三叶的刷题日记】675. 为高尔夫比赛砍树（困难）

题目描述

这是 LeetCode 上的 675. 为高尔夫比赛砍树 ，难度为困难。

Tag : 「图论 BFS」、「AStar 算法」、「启发式搜索」、「并查集」

你被请来给一个要举办高尔夫比赛的树林砍树。树林由一个的矩阵表示，在这个矩阵中：

表示障碍，无法触碰
表示地面，可以行走
比大的数表示有树的单元格，可以行走，数值表示树的高度

每一步，你都可以向上、下、左、右四个方向之一移动一个单位，如果你站的地方有一棵树，那么你可以决定是否要砍倒它。

你需要按照树的高度从低向高砍掉所有的树，每砍过一颗树，该单元格的值变为（即变为地面）。

你将从点开始工作，返回你砍完所有树需要走的最小步数。如果你无法砍完所有的树，返回。

可以保证的是，没有两棵树的高度是相同的，并且你至少需要砍倒一棵树。

示例 1：

输入：forest = [[1,2,3],[0,0,4],[7,6,5]]

输出：6

解释：沿着上面的路径，你可以用 6 步，按从最矮到最高的顺序砍掉这些树。

示例 2：

输入：forest = [[1,2,3],[0,0,0],[7,6,5]]

输出：-1

解释：由于中间一行被障碍阻塞，无法访问最下面一行中的树。

示例 3：

输入：forest = [[2,3,4],[0,0,5],[8,7,6]]

输出：6

解释：可以按与示例 1 相同的路径来砍掉所有的树。(0,0) 位置的树，可以直接砍去，不用算步数。

提示：

基本分析

基本题意为：给定一个的矩阵，每次能够在当前位置往「四联通」移动一个单位，其中的位置代表障碍（无法访问），的位置代表平地（可直接访问，且无须进行任何决策），其余大于的位置代表有树，经过该位置的时候可以考虑将树砍掉（相应值变为平地）。

同时题目限定了我们只能按照「从低到高」的顺序进行砍树，并且图中不存在高度相等的两棵树，这意味着 整个砍树的顺序唯一确定，就是对所有有树的地方进行「高度」排升序，即是完整的砍树路线。

而另外一个更为重要的性质是：点与点之间的最短路径，不会随着砍树过程的进行而发生变化（某个树点被砍掉，只会变为平地，不会变为阻碍点，仍可通过）。

综上，砍树的路线唯一确定，当我们求出每两个相邻的砍树点最短路径，并进行累加即是答案（整条砍树路径的最少步数）。

BFS

因此，再结合数据范围只有，并且点与点之间边权为（每次移动算一步），我们可以直接进行 BFS 进行求解。

先对整张图进行一次遍历，预处理出所有的树点（以三元组的形式进行存储），并对其以排升序，得到唯一确定的砍树路径。

之后就是计算砍树路径中相邻点的最短距离，运用 BFS 求解任意两点的最短路径复杂度为，我们最多有个树点，因此整体复杂度为。

求解相邻点的最短距离的部分也是整个算法的复杂度上界，数据范围只有，计算量不超过，可以过。

代码：

class Solution {    int N = 50;    int[][] g = new int[N][N];    int n, m;    List<int[]> list = new ArrayList<>();    public int cutOffTree(List<List<Integer>> forest) {        n = forest.size(); m = forest.get(0).size();        for (int i = 0; i < n; i++) {            for (int j = 0; j < m; j++) {                g[i][j] = forest.get(i).get(j);                if (g[i][j] > 1) list.add(new int[]{g[i][j], i, j});            }        }        Collections.sort(list, (a,b)->a[0]-b[0]);        if (g[0][0] == 0) return -1;        int x = 0, y = 0, ans = 0;        for (int[] ne : list) {            int nx = ne[1], ny = ne[2];            int d = bfs(x, y, nx, ny);            if (d == -1) return -1;            ans += d;            x = nx; y = ny;        }        return ans;    }    int[][] dirs = new int[][]{{0,1},{0,-1},{1,0},{-1,0}};    int bfs(int X, int Y, int P, int Q) {        if (X == P && Y == Q) return 0;        boolean[][] vis = new boolean[n][m];        Deque<int[]> d = new ArrayDeque<>();        d.addLast(new int[]{X, Y});        vis[X][Y] = true;        int ans = 0;        while (!d.isEmpty()) {            int size = d.size();            while (size-- > 0) {                int[] info = d.pollFirst();                int x = info[0], y = info[1];                for (int[] di : dirs) {                    int nx = x + di[0], ny = y + di[1];                    if (nx < 0 || nx >= n || ny < 0 || ny >= m) continue;                    if (g[nx][ny] == 0 || vis[nx][ny]) continue;                    if (nx == P && ny == Q) return ans + 1;                    d.addLast(new int[]{nx, ny});                    vis[nx][ny] = true;                }            }            ans++;        }        return -1;    }}

时间复杂度：预处理出所有树点的复杂度为，对树点进行排序的复杂度为，最多有个树点，对每两个相邻树点运用 BFS 求最短路的复杂度为，统计完整路径的复杂度为
空间复杂度：

AStar 算法

由于问题的本质是求最短路，同时原问题的边权为，因此套用其他复杂度比 BFS 高的最短路算法，对于本题而言是没有意义，但运用启发式搜索 AStar 算法来优化则是有意义。

因为在 BFS 过程中，我们会无差别往「四联通」方向进行搜索，直到找到「当前树点的下一个目标位置」为止，而实际上，两点之间的最短路径往往与两点之间的相对位置相关。

举个