贪心算法2——哈夫曼编码

【构造哈夫曼树】

假设有n个叶子结点，对应的权值分别是w1、w2、....，wn则哈夫曼树的构造如下：

（1）将w1，w2，....wn看成是有n课树的森林（每棵树仅有一个结点）。
（2）在森林中选出两个根结点权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为左、右子树结点权值之和。
（3）从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林。
（4）重复执行（2）和（3），直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求的哈夫曼树。

【哈夫曼编码】

哈夫曼编码常应用在数据通信中，在数据传送时，需要将字符转换为二进制的字符串。例如，如果传送的电文是ACBAADCB,电文中有A、B、C和D四种字符，如果规定A、B、C和D的编码分别为00、01、 10和11,则上面的电文代码为00001011001,共16个二进制数。

在传送电文时，希望电文的代码尽可能的短。如果按照每个字符长度不等进行编码，出现频率高的字符采用尽可能短的编码，那么电文的代码长度就会减少。这可以利用哈夫曼树对电文进行编码，最后得到的编码就是长度最短的编码。具体构造方法如下:

假设需要编码的字符集合为｛c1,c2,...,cn｝相应的字符在电文中的出现次数｛w1,w2,...,wn｝，以字符c1,c2,...,cn作为叶子结点，以w1,w2,...,wn为对应叶子结点的权值构造一棵二叉树，规定哈夫曼树的左孩子分支为0,右孩子分支为1,从根结点到每个叶子结点经过的分支组成的0和1序列就是结点对应的编码。

例如，字符集合为{A.B.C,D}，各个字符相应的出现次数为{4,1,1,2}，将这些字符作为叶子结点，出现次数作为叶子结点的权值，相应的哈夫曼树如图.

从图中不难看出，字符A的编码为0，字符B的编码为110,字符C的编码为11,字符D的编码为10。因此，可以得到电文ACBAADCB的C的编码为，' 01111100010111110。这样就保证了电文的编码长度最短。

在设计不等长编码时，必须使任何一个字符的编码都不是另外一个字符编码的前缀。例如，字符A的编码为11,字符B的编码为110，则字符A的编码就称为字符B的编码的前缀。如果一个代码为 11010, 在进行译码时，无法确定是将前两位译为A,还是要将前三位译为B。但是在利用哈夫曼树进行编码时，不会出现-个字符的编码是另一个字符编码的前缀编码。

【分析】

构造哈夫曼树的过程利用了贪心选择的性质，每次都是从结点集合中选择权值最小的两个结点构造一个新树。这就保证了贪心选择的局部最优的性质。

code：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include <iostream>
typedef struct
{unsigned int weight;  /*权值*/unsigned int parent, LChild, RChild;  /*指向双亲、左右孩子结点的指针*/
} HTNode, *HuffmanTree;  /*存储哈夫曼树*/
typedef char *HuffmanCode;  /*存储哈夫曼编码*/
void CreateHuffmanTree(HuffmanTree *ht, int *w, int n);
void Select(HuffmanTree *ht, int n, int *s1, int *s2);
void CreateHuffmanCode(HuffmanTree *ht, HuffmanCode *hc, int n);
void main()
{HuffmanTree HT;HuffmanCode HC;int *w, i, n, w1;printf("***********哈夫曼编码***********\n");printf("请输入结点个数:");scanf("%d", &n);w = (int *)malloc((n + 1)*sizeof(int));printf("输入这%d个元素的权值:\n", n);for (i = 1; i <= n; i++){printf("%d: ", i);//      fflush(stdin);scanf("%d", &w1);w[i] = w1;}CreateHuffmanTree(&HT, w, n);/*构造哈夫曼树*/CreateHuffmanCode(&HT, &HC, n);/*构造哈夫曼编码*/system("pause");
}
void CreateHuffmanTree(HuffmanTree *ht, int *w, int n)
/*构造哈夫曼树ht,w存放已知的n个权值*/
{int m, i, s1, s2;m = 2 * n - 1;    /*结点总数*/*ht = (HuffmanTree)malloc((m + 1)*sizeof(HTNode));for (i = 1; i <= n; i++)  /*初始化叶子结点*/{(*ht)[i].weight = w[i];(*ht)[i].LChild = 0;(*ht)[i].parent = 0;(*ht)[i].RChild = 0;}for (i = n + 1; i <= m; i++)  /*初始化非叶子结点*/{(*ht)[i].weight = 0;(*ht)[i].LChild = 0;(*ht)[i].parent = 0;(*ht)[i].RChild = 0;}printf("\n哈夫曼树为: \n");for (i = n + 1; i <= m; i++)   /*创建非叶子结点，建哈夫曼树*//*在(*ht)[1]~(*ht)[i-1]的范围内选择两个最小的结点*/{Select(ht, i - 1, &s1, &s2);(*ht)[s1].parent = i;(*ht)[s2].parent = i;(*ht)[i].LChild = s1;(*ht)[i].RChild = s2;(*ht)[i].weight = (*ht)[s1].weight + (*ht)[s2].weight;printf("%d (%d, %d)\n",(*ht)[i].weight, (*ht)[s1].weight, (*ht)[s2].weight);}printf("\n");
}
void CreateHuffmanCode(HuffmanTree *ht, HuffmanCode *hc, int n)
/*从叶子结点到根，逆向求每个叶子结点对应的哈夫曼编码*/
{char *cd;   /*定义的存放编码的空间*/int a[100];int i, start, p, w = 0;unsigned int c;hc = (HuffmanCode *)malloc((n + 1)*sizeof(char *));  /*分配n个编码的头指针*/cd = (char *)malloc(n*sizeof(char));  /*分配求当前编码的工作空间*/cd[n - 1] = '\0';  /*从右向左逐位存放编码，首先存放编码结束符*/for (i = 1; i <= n; i++)/*求n个叶子结点对应的哈夫曼编码*/{a[i] = 0;start = n - 1;  /*起始指针位置在最右边*/for (c = i, p = (*ht)[i].parent; p != 0; c = p, p = (*ht)[p].parent)/*从叶子到根结点求编码*/{if ((*ht)[p].LChild == c){cd[--start] = '0';  /*左分支记作0*/a[i]++;}else{cd[--start] = '1';  /*右分支记作1*/a[i]++;}}/*为第i个编码分配空间*/hc[i] = (char *)malloc((n - start)*sizeof(char));strcpy(hc[i], &cd[start]); /*将cd复制编码到hc*/}free(cd);for (i = 1; i <= n; i++)printf("权值为%d的哈夫曼编码为:%s\n", (*ht)[i].weight, hc[i]);for (i = 1; i <= n; i++)w += (*ht)[i].weight*a[i];printf("带权路径为:%d\n", w);
}
void Select(HuffmanTree *ht, int n, int *s1, int *s2)
/*选择两个parent为0，且weight最小的结点s1和s2*/
{int i, min;for (i = 1; i <= n; i++){if ((*ht)[i].parent == 0){min = i;break;}}for (i = 1; i <= n; i++){if ((*ht)[i].parent == 0){if ((*ht)[i].weight < (*ht)[min].weight)min = i;}}*s1 = min;for (i = 1; i <= n; i++){if ((*ht)[i].parent == 0 && i != (*s1)){min = i;break;}}for (i = 1; i <= n; i++){if ((*ht)[i].parent == 0 && i != (*s1)){if ((*ht)[i].weight < (*ht)[min].weight)min = i;}}*s2 = min;
}

结果：

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