计算机网络——奈氏准则和香农定理
奈氏准则
采样定理
假设原始信号中的最大频率为f,那么采样频率F必须≥2f
码间串扰
具体的信道所能通过的频率范围总是有限的(具体的信道带宽是固定的),所以信号中的大部分高频分量过不去,在传输过程中会衰减,导致在接收端收到的信号的波形失去了码元之间的清晰界限
带宽
在计算机网络中,带宽用来表示网络中某信道传送数据的能力,因此网络带宽表示在单位时间内网络中的某信道所能通过的“最高数据率”,带宽的单位就是数据率的单位,即bit/s
信道带宽则是信道能通过的最高频率和最低频率之差
奈奎斯特定理
为了寻找在保证不出现码间串扰的条件下码元传输速率的最大值,提出了奈奎斯特定理
在理想低通(没有噪声、带宽有限)的信道中,为了避免码间串扰
极限码元传输率为2WBaud(W是理想低通信道的带宽,单位为Hz)
在理想带通的条件下
最高的码元传输速率为WBaud
W是理想低通信道的带宽,单位为Hz
2W为在理想低通(没有噪声、带宽有限)的信道中的极限码元传输率
N表示每个码元离散电平的数目(有M种不同的码元,比如N=16,则log216 = 4,需要4位二进制位)理想低通信道下最大数据传输速率=2W log2N bit/s
归纳总结与例题
由上述公式可知,奈奎斯特定理仅仅是给出了无噪声情况下码元最大传输速率,即2W,并没有给出最大数据传输率,因此可以改变log2N,只要N足够大(即编码足够好),使得一个码元携带无穷个比特,那么最大数据传输速率就可以无穷大!
对一个无噪声的4kHz信道进行采样,可达到的最大数据传输速率是多少?
[无限大]
- 思路一:在4kHz的信道上,采样频率需要8kHz(每秒可进行8k次采样)。如果每次采样可以取得16bit的数据,那么信道就可以发送128k bit/s的数据;如果每次采样可以取得1024bit的数据,那么信道就可以发送8M bit/s的数据。所以说只要编码足够好(每个码元能够携带更多地比特),最高码元传输速率是可以无限大的
- 思路二:根据公式可知,N可以无穷大,因此最高码元传输速率是可以无限大的
tips:这里关键在于信道是无噪声的,如果在一个有噪声的4kHz的信道中,根据香农定理则不允许最大数据传输率为无限大
在无噪声的情况下,若某通信链路的带宽为3kHz,采用4个相位,每个相位具有4种振幅的QAM调制技术,则该通信链路的最大数据传输率是多少?
[24000 bit/s]
- 4个相位,每个相位具有4种振幅的QAM调制技术,则有4*4=16种不同的组合,log216 = 4,则1个码元可携带4bit信息量,
- 奈氏准则
最高信息传输速率=2W Baud=2 × 3k Hz=6000Baud
最大数据传输速率=2W log2N = 6000 × 4 = 24000 bit/s
采用8种相位,每种相位各有两种幅度的QAM调制方法,在1200Baud的信号传输速率下能达到的数据传输速率是多少?
[4800 bit/s]
- 8种相位,则一共有8 × 2=16 种码元,每个码元携带log216=4 bit的信息
- 数据传输速率= W log2N = 1200 × 4 = 4800 bit/s
对于某带宽为4000Hz的低通信道,采用16种不同的物理状态来表示数据,按照奈奎斯特定理,信道的最大传输速率是多少?
[32 kb/s]
- 16种不同的物理状态,即N=16
- 2W = 2 × 4000 = 8000Band
- 理想低通信道下最大数据传输速率=2W log2N bit/s = 8000 log216=32000b/s=32kb/s
()一个信道每1/8s采样一次,传输信号共有16种变化状态,最大数据传输率是多少
[32 bit/s]
- 每1/8s采样一次→每秒8次,即8波特,(不是信道带宽多少Hz,不用*2)
- 16种变化状态的信号,log2N = log216 = 4,可携带4bit数据
- 最大数据传输率 = W log2N bit/s = 8 × 4 = 32 bit/s
注意:无噪声、低通就要用到2W!!!!!
香农定理
信噪比
信噪比(dB) = 10 log10(S/N) (dB)
香农公式
最大数据传输速率 = W × log2(1+S/N) (bit/s)
W为信道的带宽,因此想要提高最大数据传输速率,应该设法提高传输线路的带宽或者所传信号的信噪比
相关例题
电话系统的典型参数是信道带宽为3000Hz,信噪比为30dB,则该系统的最大数据传输速率是多少?
答:30k bit/s
- 该信道是有噪声的信道,应该用香农公式来求解。
信噪比为30dB,30 = 10 log10(S/N) →S/N = 1000
根据香农公式,极限码元传输率 = W × log2(1+1000) = 3000 × log21001 ≈ 30k bit/s
比较奈氏准则与香农定理
- 奈奎斯特定理指出了码元传输的速率是受限的。
- 奈奎斯特定理实在理想的条件下推导出来的,在实际条件下,最高码元传输速率要比理想条件下得出的数值还要小。
- 香农公式给出了信息传输速率的极限,即对于一定的传输带宽(以Hz为单位)和一定的信噪比,信息传输速率的上线就确定了,这个极限是不能够被突破的。要想提高信息的极限传输速率,必须设法提高传输线路的带宽或者所传信号的信噪比。
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