局部多项式插值法【LPI】的工作原理

全局多项式插值法可以根据整个表面拟合多项式，而局部多项式插值法可以对位于指定重叠邻域内的多个多项式进行拟合。通过使用大小和形状、邻域数量和部分配置，可以对搜索邻域进行定义。.或者，可以使用探索性趋势面分析参数同步更改带宽、空间条件数（如果已启用）和搜索邻域值。还可以通过优化按钮优化基于交叉验证统计信息为 LPI 进行参数优化。

一阶全局多项式可以根据数据对单平面进行拟合；二阶全局多项式可以对包含一个弯曲的表面进行拟合（表面可以表示山谷）；三阶全局多项可以对包含两个弯曲的表面进行拟合；依此类推。但是，当表面具有多种形状（如延绵起伏的地表）时，单个全局多项式将无法很好地拟合。多个多项式平面能够更加准确地体现表面，如下图所示：

另一方面，局部多项式插值法仅使用既定邻域内的点对指定阶数（0 阶、1 阶、2 阶、3 阶，等等）的多项式进行拟合。邻域相互重叠，每次预测所使用值是位于邻域中心的拟合的多项式的值。

在下图中，截取了样本高程数据的横截面（样带）。在第一幅图中，使用三个相邻点（红色点）对一阶多项式进行拟合，使用一条线（红色线）预测由蓝色点标识的位置所对应的未知值。在第二幅图中，通过另一个一阶段多项式对另一个位置（黄色点）进行预测。由于此位置与第一个位置之间的距离很小，因此在预测过程中使用了相同的测量点，但权重稍有不同，从而使得多项式的拟合效果存在些许差异（蓝线）。

随着这一过程的继续，将侧重于后续的预测位置，拟合局部多项式以对值进行预测。以下两幅图显示了为创建最终表面而被预测的另外两个任意点。橙色点是使用经测量的绿色采样点根据拟合的多项式（绿色线）预测而来的，而褐色点是根据浅紫色多项式预测而来的。

在以下两幅图中，为预测另外两个位置（蓝绿色点和绿色点）对另外两个多项式（黄色线和灰色线）进行了拟合。

与在 IDW 中选择幂 (p) 值相似，也需要在局部多项式中选择最佳参数，以将均方根预测误差 (RMSPE) 降至最小。

准确性的度量

局部多项式插值法提供了以下两种用于度量准确性的方法，但这两种方法对于 ArcGIS Geostatistical Analyst 中提供的其他确定性插值方法并不适用。

预测标准误差用于表示与各位置的预测值相关的不确定性。
空间条件数是一种表示预测方程的稳定或不稳定解对特定位置的适应程度的度量方式。如果条件数较大，则很小的矩阵系数变化便会导致解向量（回归系数）的较大变化。由于预测标准误差表面是在假定模型是正确的情况下创建的，因此空间条件数表面可显示数字模型稳定性的变化并提供与预测不确定性相关的其他信息。

局部多项式插值法依赖以下假设：

在格网上采样（即，样本的间距相等）。
搜索邻域内的数据值呈正态分布。

事实上，大多数数据集都不符合上述假设；在此类情况下，预测值将受到影响，但误差不会像预测标准误差那样大。为帮助确定特定区域内的结果是否可靠，LPI 提供了一个空间条件数表面。下表中显示了一些经验值，这些关键值在“条件数”表面中被渲染成黄色。

何时使用局部多项式插值法

全局多项式插值法适用于在数据集中创建平滑表面及标识长期趋势。然而，在地球科学中，除了长期趋势之外，感兴趣的变量通常还具有短程变化。当数据集显示出短程变化时，局部多项式插值法地图可捕获这种变化。

局部多项式插值法对邻域距离很敏感，较小的搜索邻域可能会在预测表面内创建空区域。因此，可以在生成输出图层之前预览表面。