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今天讲解的内容是梯度下降算法。

梯度下降算法在机器学习中的应用十分广泛，该算法的最主要目的是通过迭代的方法找到目标函数的最小值，经常用来解决线性回归和逻辑回归等相关问题。本节课主要讲解梯度下降算法解决一元线性回归问题，包括四个部分，问题引入、数学理论、算法实现、上机实验。

来看一个生活中的例子。在买房的时候，房屋价格是人们最关心的问题，都希望买到性价比高的房子。有很多特征影响房屋的价格，例如面积、地理位置、交通、楼层、绿化程度等等。其中面积与房价最为相关。

来看一组数据，数据包括8套房屋的面积和成交价格的对应关系。

例如，0号房子面积为50平米，成交价为280万。那么是否可以根据这组数据，找到房子面积和成交价格的对应关系，从而未来利用这个关系，根据面积，计算出价格呢？为了更明显的观察出面积和价格之间的关系，将这组数据标记在坐标系中，其中横坐标表示面积，纵坐标表示价格。

可以发现，这些离散的点之间存在着线性关系，我们可以使用一条直线来描述这种线性关系，使得这些点尽量均匀的分布在直线两侧。因为通过一条直线近似表示自变量与因变量的关系，所以被称为线性回归。而只有一个自变量，面积影响因变量价格，所以是一元线性回归。

我们使用平面上的直线来描绘一元线性回归的线性关系。直线方程hθ(x)=θ0 + θ1x，其中x代表面积，hθ(x)代表预测的房价，方程有两个参数，截距θ0和斜率θ1，当θ0和θ1 取不同的值时，可以得到不同的直线方程hθ(x)。后面就要找出最合适的θ0和θ1，使得直线hθ(x)最好的描绘出面积和价格的关系。

尝试画出几组直线表示房屋面积和房价。例如，当θ0 = 0 ，θ1 = 4 时，得到图像1，很明显，斜率偏小，截距偏小。修改θ0 = 10，θ1 = 5，得到图像2，这条直线就基本符合面积和价格的关系了。

在此基础上，我们可以继续调整，挑选出一条最合适的直线。但是这时又出现一个问题，在调整过程中，直线变化不大，很难通过直观感受判断哪条直线最符合面积和房价之间的关系。

这时就需要使用均方误差来精确的选出最合适的直线，即最合适的θ0和θ1。

均方误差，MSE，mean square error，是反映真实值与预测值之间差异程度的一种度量。在样例数据中，真实房价与预测房价之间的差异程度，就可以使用均方误差来衡量。均方误差越小，说明用来预测的直线就越合适。

假如有m个样本，每个样本为平面中的一个点，第i个样本表示为xi,yi。例如，表中有8个样本，m=8，x代表面积，y代表价格，x0=50，y0=290，x1=60，y1=305。预测直线为hθ(x)=θ0+θ1x，那么hθ（x0)，hθ（x1)，hθ（xi)分别为第0个，第1个，第i个样本的预测值。这里如果我们选定了某个预测直线，那么θ0，θ1也就确定了，从而根据直线公式和房屋面积，也可以将样本的预测值计算出来。

均方误差的公式为，m分之sigema i= 1累加至m h θ xi 减 yi 差的平方，其中m为样本的个数， h θ xi 为第i个样本的直线预测值，yi为第i个样本的真实值。那么均方误差公式即求m个样本的直线预测值与真实值差的平方和，再取平均。

例如，假如预测直线的θ0 =10，θ1 = 5，即h(x) = 5x +10。那么8个样本，根据面积，可以计算预测价格为260，310，360，410，460，510，560，610。通过均方误差公式，得到均方差为268.75。不同的θ0和θ1会计算得到不同的均方差，均方差越小，θ0和θ1就越合适。

在此基础上，定义代价函数J(θ)为1/2倍的均方误差，由于样本的个数m，每个样本的横坐标x和纵坐标y都是已知的，所以代价函数J(θ)中的未知数为直线方程的截距θ0与斜率θ1。那么问题就转化为，求出一组θ0和θ1，使得代价函数J(θ)取得最小值。

例如，表格中有3个样本，x0，y0，x1，y1，x2，y2。预测直线为hθ(x)=θ0+θ1x，那么将J(θ)展开得到关于θ0与θ1的二元表达式。即求J(θ0，θ1)中使取得最小值θ0，θ1。

那么如何求出θ0和θ1呢？就可以使用本节课要讲的梯度下降算法了。至此，梯度下降算法的引入就讲完了，我们下节课再见。

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