【数据结构】堆笔记

什么是堆

优先队列（Priority Queue）：特殊的“队列”，取出元素的顺序是依照元素的优先权（关键字）大小，而不是元素进入队列的先后顺序。

若采用数组或链表实现优先队列

数组 :

插入 — 元素总是插入尾部 ~ Θ\ThetaΘ ( 1 )
删除 — 查找最大（或最小）关键字 ~ Θ\ThetaΘ ( n )
从数组中删去需要移动元素 ~ O( n )

链表:

插入 — 元素总是插入链表的头部 ~ Θ\ThetaΘ ( 1 )
删除 — 查找最大（或最小）关键字 ~ Θ\ThetaΘ ( n )
删去结点 ~ Θ\ThetaΘ ( 1 )

有序数组:

插入 — 找到合适的位置 ~ O( n ) 或 O(log2log_2log2 n )
移动元素并插入 ~ O( n )
删除 — 删去最后一个元素 ~ Θ\ThetaΘ ( 1 )

有序链表:

插入 — 找到合适的位置 ~ O( n )
插入元素 ~ Θ\ThetaΘ ( 1 )
删除 — 删除首元素或最后元素 ~ Θ\ThetaΘ ( 1 )

是否可以采用二叉树存储结构？

二叉搜索树？一直删除最大的结点导致树变斜，不能采用

如果采用二叉树结构，需要做两个操作：插入任何结点、删除最大值，其中更应关注删除最大值（因为更难做）。可以考虑将树构造成将最大值放在树根，删除最大值就将根结点拿掉，这就是最大堆。使用完全二叉树存储。

优先队列的完全二叉树表示

堆的两个特性

结构性：用数组表示的完全二叉树；
有序性：任一结点的关键字是其子树所有结点的最大值(或最小值)
“最大堆(MaxHeap)”,也称“大顶堆”：最大值
“最小堆(MinHeap)”,也称“小顶堆” ：最小值

【例子】：
最大堆：

最小堆：

不是堆：

不是完全二叉树
不满足根结点是最大的/最小的

注意：从根结点到任意结点路径上结点序列的有序性！

堆的抽象数据类型描述

类型名称：最大堆（MaxHeap）
数据对象集：完全二叉树，每个结点的元素值不小于其子结点的元素值
操作集：最大堆H ∈\in∈MaxHeap，元素item ∈\in∈ ElementType，主要操作有：
•MaxHeap Create( int MaxSize )：创建一个空的最大堆。
•Boolean IsFull( MaxHeap H )：判断最大堆H是否已满。
•Insert( MaxHeap H, ElementType item )：将元素item插入最大堆H。
•Boolean IsEmpty( MaxHeap H )：判断最大堆H是否为空。
•ElementType DeleteMax( MaxHeap H )：返回H中最大元素(高优先级)。

最大堆的操作

创建

typedef struct HeapStruct *MaxHeap;struct HeapStruct {ElementType *Elements;  /* 存储堆元素的数组 */int Size;                /* 堆的当前元素个数 */int Capacity;             /* 堆的最大容量 */
};

MaxHeap Create( int MaxSize )
{ /* 创建容量为MaxSize的空的最大堆 */MaxHeap H = malloc( sizeof( struct HeapStruct ) );H->Elements = malloc( (MaxSize+1) * sizeof(ElementType));H->Size = 0;H->Capacity = MaxSize;H->Elements[0] = MaxData;/* 定义“哨兵”为大于堆中所有可能元素的值，便于以后更快操作 */return H;
}

插入

算法：将新增结点插入到从其父结点到根结点的有序序列中

void Insert( MaxHeap H, ElementType item )
{
/* 将元素item 插入最大堆H， 其中H->Elements[0]已经定义为哨兵 */int i;if ( IsFull(H) ) {printf("最大堆已满");return;
}
i= ++H->Size; /* i指向插入后堆中的最后一个元素的位置 */
for ( ; H->Elements[i/2] < item; i/=2 )H->Elements[i] = H->Elements[i/2]; /* 向下过滤结点 */
H->Elements[i] = item; /* 将item 插入 */
}

我们设置H->Element[ 0 ] 是哨兵元素，它不小于堆中的最大元素，控制循环结束。
时间复杂度T(N) = log2log_2log2 N （树的高度）

删除

ElementType DeleteMax( MaxHeap H )
{   /* 从最大堆H中取出键值为最大的元素， 并删除一个结点 */int Parent, Child;ElementType MaxItem, temp;if ( IsEmpty(H) ) {printf("最大堆已为空");return;}MaxItem = H->Elements[1]; /* 取出根结点最大值 *//* 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点 */temp = H->Elements[H->Size--];for( Parent=1; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) {Child = Parent * 2;if( (Child!= H->Size) &&(H->Elements[Child] < H->Elements[Child+1]) )Child++; /* Child指向左右子结点的较大者 */if( temp >= H->Elements[Child] ) break;else /* 移动temp元素到下一层 */H->Elements[Parent] = H->Elements[Child];} H->Elements[Parent] = temp;return MaxItem;

最大堆的建立

建立最大堆：将已经存在的N个元素按最大堆的要求存放在一个一维数组中

方法1： 通过插入操作，将N个元素一个个相继插入到一个初
始为空的堆中去，其时间代价最大为O(N logN)。

方法2： 在线性时间复杂度下建立最大堆。
（1）将N个元素按输入顺序存入，先满足完全二叉树的结构特性
（2）调整各结点位置，以满足最大堆的有序特性。

完整代码

typedef struct HNode *Heap; /* 堆的类型定义 */
struct HNode {ElementType *Data; /* 存储元素的数组 */int Size;          /* 堆中当前元素个数 */int Capacity;      /* 堆的最大容量 */
};
typedef Heap MaxHeap; /* 最大堆 */
typedef Heap MinHeap; /* 最小堆 */#define MAXDATA 1000  /* 该值应根据具体情况定义为大于堆中所有可能元素的值 */MaxHeap CreateHeap( int MaxSize )
{ /* 创建容量为MaxSize的空的最大堆 */MaxHeap H = (MaxHeap)malloc(sizeof(struct HNode));H->Data = (ElementType *)malloc((MaxSize+1)*sizeof(ElementType));H->Size = 0;H->Capacity = MaxSize;H->Data[0] = MAXDATA; /* 定义"哨兵"为大于堆中所有可能元素的值*/return H;
}bool IsFull( MaxHeap H )
{return (H->Size == H->Capacity);
}bool Insert( MaxHeap H, ElementType X )
{ /* 将元素X插入最大堆H，其中H->Data[0]已经定义为哨兵 */int i;if ( IsFull(H) ) { printf("最大堆已满");return false;}i = ++H->Size; /* i指向插入后堆中的最后一个元素的位置 */for ( ; H->Data[i/2] < X; i/=2 )H->Data[i] = H->Data[i/2]; /* 上滤X */H->Data[i] = X; /* 将X插入 */return true;
}#define ERROR -1 /* 错误标识应根据具体情况定义为堆中不可能出现的元素值 */bool IsEmpty( MaxHeap H )
{return (H->Size == 0);
}ElementType DeleteMax( MaxHeap H )
{ /* 从最大堆H中取出键值为最大的元素，并删除一个结点 */int Parent, Child;ElementType MaxItem, X;if ( IsEmpty(H) ) {printf("最大堆已为空");return ERROR;}MaxItem = H->Data[1]; /* 取出根结点存放的最大值 *//* 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点 */X = H->Data[H->Size--]; /* 注意当前堆的规模要减小 */for( Parent=1; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) {Child = Parent * 2;if( (Child!=H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child+1]) )Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */if( X >= H->Data[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */else  /* 下滤X */H->Data[Parent] = H->Data[Child];}H->Data[Parent] = X;return MaxItem;
} /*----------- 建造最大堆 -----------*/
void PercDown( MaxHeap H, int p )
{ /* 下滤：将H中以H->Data[p]为根的子堆调整为最大堆 */int Parent, Child;ElementType X;X = H->Data[p]; /* 取出根结点存放的值 */for( Parent=p; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) {Child = Parent * 2;if( (Child!=H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child+1]) )Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */if( X >= H->Data[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */else  /* 下滤X */H->Data[Parent] = H->Data[Child];}H->Data[Parent] = X;
}void BuildHeap( MaxHeap H )
{ /* 调整H->Data[]中的元素，使满足最大堆的有序性  *//* 这里假设所有H->Size个元素已经存在H->Data[]中 */int i;/* 从最后一个结点的父节点开始，到根结点1 */for( i = H->Size/2; i>0; i-- )PercDown( H, i );
}