说明：

国内学生普遍认为，学完高等数学，数学就到头了。曾经谈论起数学，一位北大学子夸耀自己高数有多牛，那么高数之外还有没有数学，我告诉你们，高数仅仅是个预备活动，谈不上理解。学完泛函分析，才是近代数学的起跑点。

一、能量基本概念

在物理上，基本的能量公式为： $E = \frac{1}{2}mv^2$ ，号称动能。其中m是质量，v是速度，而且 $v=\Delta L/\Delta t$ 。

然而在数学上，既无质量概念、又无时间的概念，因此，给定常数m=c=1，t=c=1，因此能量的概念变成：

$E= \frac {1}{2}\Delta L^2$

此处告诉我们，长度（距离）具有能量的某些特征。因而更简化公式是：

$E= L^2$

长度的平方就是能量。也就是，能量的函数是个抛物函数，就是这与物理上能量的定义是一致的。

再比如：电学当中， $W=\int\frac{ i^2}{R}dt$ 是电流能量，在谱分解原理中，功率谱也是信号的平方。总之，能量是一个平方函数。自然界，能量函数总有最小值，这是一个普遍规律。

二、勾股定律和能量守恒

在直角坐标系中，存在“勾股定律”，从能量角度上说，一定长度构成的能量，可以分解到正交坐标系中，能量不会丢失。比如：

线段L在可以在任意直角坐标P、Q、R表示，坐标值可能变了，但L能量不变。且恒有

$X^2+Y^2=L^2$

定理：信号在同维度正交坐标系下表示，其能量是守恒的。

因此，信号在坐标转换中，只要坐标是正交的，那么，信号能量不会损失；反变换也能回到初始信号状态。关于正交投影，将在专题中论述。

三、能量和欧式距离

对于任意两个点 $M_1(X_1,Y_1),M_2(X_2,Y_2)$ 的距离是：

$d(M_1,M_2)=\sqrt{(X_1-X_2 )^2+(Y_1-Y_2 )^2}$

由于d是一个线段，那么 $d^2(M_1,M_2)$ 就是 $M_1(X_1,Y_1),M_2(X_2,Y_2)$ 两点之能量。

因此，给定任意两个点，其距离的平方，就是两点之能量。

四、圆周上的能量守恒

用直角坐标系表示圆周L和K，如图：

由于L上任意一点都有如下属性：

$X_L^2+Y_L^2=R_L^2$

因此，绿色圆上的所有点相对原点的能量全部是 $R_L^2$ ,处于等能量状态。同样，在红色圆K上，其上任意点也处于等能量态。这也不奇怪，因为 $R_L^2$ 恰好是函数 $f(X,Y)= X_L^2+Y_L^2$ 的一条等高线。

四、方差和能量

给定一组坐标 $(X_1,Y_1),(X_2,Y_2)... ...(X_n,Y_n)$ 问这些点到哪个点的总能量最低？

也就是说，以某点 $(X_c,Y_c)$ 为基点，所有点到该点的能量总和为最小。

于是： $E_{min}= \sum_{i}^{n} (X_i-X_c)^2+(Y_i-Y_c)^2$ 以 $(X_c,Y_c)$ 为自变量的极值问题。

$\frac{\partial E_{min}}{\partial X_c}=0=-\sum_{i=1}^{n}2(X_i-X_c)=2nX_c-2\sum_{n}^{i=1}X_i$

化简于是： $X_c=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ ,这就是所有点的平均么！

同理， $Y_c=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i$

因此所有点 $(X_1,Y_1),(X_2,Y_2)... ...(X_n,Y_n)$ 的期望值（平均）；恰好是到所有点的能量最低的点。

因而，对于这个统计问题，能量、方差、期望，在冥冥之中，存在以上的内在关系。

除此之外，还有线代的关系、柯西不等式，距离空间、傅里叶变换等，都是相关的话题，留着，以后慢慢展现。

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机器学习系列3：能量函数分析

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