韦达定理与一元二次方程求根公式的关系

韦达定理与一元二次方程求根公式的关系
对于一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,x为未知数，a,b,c为常数)而言，通过配方法
可以求得其求根公式：

通过把方程的这两个根做相加与相乘两种运算
于是乎就有了所谓的韦达定理：
x1+x2=-b/a;（相加可得）（3）
X1∙x2=c/a;（相乘可得）（4）
于是乎通常情况下初中数学老师把韦达定理这个知识点讲到这里就结束了。整个过程推导也很简单（相加与相乘），因此学生也不会有什么怀疑。
初中的数学书已经放下十几年了，突然在网上刷到一个应用韦达定理解题的视频，就很自然的想到了下面这个问题（受到了线性方程组中解集结构的思想启发）：韦达定理与求根公式的关系是什么？
也就是说（1）（2）两式与（3）（4）两式的关系是什么？请注意不是（1）与（3）、（2）与（4）而是：（1）、（2）两式整体即求根公式与（3）、（4）两式整体即韦达定理的关系。
通过韦达定理的证明过程可以知道：求根公式可以推导出韦达定理（相乘与相加）。
这说明求根公式是韦达定理的充分条件（即条件已经足够充分不需要再补充其它条件了）。
至于从求根公式推导出韦达定理的过程中是否存在信息丢失（即条件的浪费，没有用完），那么我们看一下从韦达定理出发能否推出一元二次方程的求根公式。
已知两个未知数满足韦达定理的关系：
x1+x2=-b/a;（相加可得）（3）
X1∙x2=c/a;（相乘可得）（4）
那么通过将（4）代入（3）可以得到：
X2=c/（ax1）； %用X1=c/（ax2）也一样
将其带入（3）即可得到：
X1+c/ax1=-b/a;通分移项可得
即ax12+c+bx1=0;这不又是和开始一模一样的一元二次方程么，只是未知数的表示用了x1，当然你也可以用x2表示。
再通过配方法解出来：

总之又回到了求根公式。
也就是说从韦达定理可以推导出求根公式，所以韦达定理是求根公式的充分条件。
既然二者互为充分条件，即他们是充要条件，韦达定理与求根公式等价。
这样就形成了一个韦达定理与求根公式可以互导的二元闭环（各有两个式子，即约束）。可来可往。
总结：生活中对于一个一元量的两个甚至多个条件之间我们往往善于发现他们之间的关系（充分不必要，必要不充分，充要还是既不充分也不必要），而对于二元变量组（甚至多元变量组）之间的关系则不是那么易于发现，需要大家有一点耐心去伪存真，删繁就简（比如说线性方程组中通过高斯消元去掉冗余的约束就是去伪存真，消元以后得到解空间即为删繁就简）才能够发现他们内在的逻辑关系。

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