三、前缀和与差分

3.1 前缀和

3.1.1 一维前缀和的算法思想

3.1.2 一维前缀和的代码实现

3.1.3 二维前缀和的基本思想

3.1.4 二维前缀和的代码实现

3.2 差分

3.2.1 基本思想

3.2.2 代码实现

3.2.3 二维差分的基本思想

3.2.4 二维差分的代码实现

三、前缀和与差分

前缀和与差分是一堆逆运算

3.1 前缀和

3.1.1 一维前缀和的算法思想

原数组：一个长度为n的数组{a1, a2, a3 … ， an}

前缀和数组：Si = a1+a2+…+ai，S0=0

(第一个下标一定要是1，把S0定义成0，这两个都是为了方便处理边界)

1、前缀和的作用：

能够快速地求出来原数组中一段数据的和，例如，如果想算一个数组中[l,r]的数组的和，没有前缀和数组的话，复杂度就是O(n)的，如果有的话，我们就是可以直接用 Sr - Sl-1 得到，查询的复杂度就是O(1)，但是求一个前缀和数组的复杂度就是O(n)，适用于输入一组数据，让求好几段的数据的和的情况，

2、如何求Si？

( 可以用for循环递推遍历一遍，S[i] = S[i-1]+ai)

3.1.2 一维前缀和的代码实现

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 100010;int q[N];
int s[N];int main(){int n, m;scanf("%d %d", &n, &m);for(int i = 0; i < n; i++){scanf("%d", &q[i]);}s[0] = 0;// 构造前缀和数组for(int i = 1; i <= n;i++){s[i] = s[i-1] + q[i-1];}int l, r;while(m--){scanf("%d %d", &l, &r);printf("%d\n", s[r]-s[l-1]); //区间相减}return 0;
}

3.1.3 二维前缀和的基本思想

二位前缀和，画个图如下所示：

1、如何求某区间的和？

想要求x1, x2, x3, x4所围成的小矩形的和，就可以用,Sx2y2 - Sx1y2 - Sx2y1 + Sx1y1

2、如何求一个Si j

可以用两层for循环进行遍历，S[i][j] = S[i-1][j] +S[i][j-1] -S[i-1][j-1]+aij

所以定义S0=0，然后第一数都从1开始，就可以避免边界问题

3.1.4 二维前缀和的代码实现

#include <iostream>
using namespace std;const int N= 1010;int q[N][N];int main(){int n, m, qn;scanf("%d %d %d", &n, &m, &qn);//一定要从1开始，不然边界问题好难处理for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= m; j++){scanf("%d", &q[i][j]);}}int s[N][N];// 构建前缀和for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= m; j++){s[i][j] =s[i-1][j] + s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+q[i][j]; }}int xa, ya, xb, yb;//区间更新while(qn--){scanf("%d %d %d %d", &xa, &ya, &xb, &yb);printf("%d\n", s[xb][yb] - s[xa-1][yb] -s[xb][ya-1] +s[xa-1][ya-1]);}return 0;
}

3.2 差分

差分是前缀和的逆运算

3.2.1 基本思想

数组：一个长度为n的数组{a1, a2, a3 … ， an}

构造一个b 数组，{b1,b2,b3…bn}

使得 ai = b1+b2+… +bi

即 b1 = a1; b2= a2-a1; b3 = a3-a2, … , bn = an-an-1

b 就是a 的差分，a就是b 的前缀和

1、差分数组的作用：

也就是在O(n)的时间，通过 b 差分数组可以还原出他的前缀和数组 a ，运用差分的思想可以很好的解决一类问题：

例如给定一个区间 [l, r] 让a数组，这里边所有的数都加上c，如果是用遍历，那就需要O(n)的复杂度

如果用差分来做，就可以做到O(1)原理如下:

因为 ai = b1+ b2 + …+ bi

所以只需要对 b[l] 做 +c 的操作，那 a[l] 往后的数都会 +c

又因为题目要求，只是 [l, r] 的区间，所以在对b[r+1] 做-c 的操作，相抵消，那 a[r+1] 之后的数就不会加上c了，

这样再用b数组求前缀和，还原出的a数组就是最后的结果

所以只需要O(1)的时间就可以实现，以空间换时间

2、如何拥有差分数组呢（初始化）

其实不要考虑差分数组的构造，换个角度考虑从0开始用bn 生成an，这样an生成之后，b数组出来了，具体思路如下：

可以先想象a 全部都是0，那么b 也全部都是

然后怎么样变成{a1, a2, a3 … ， an}呢

就是相当于每个地方，进行了加上这个数的操作

就[1,1] 的区间+a1， [2, 2]的区间+a2 …[n, n]的区间+an

这样生成 an 和完成题目的an 某区间+c 操作，就都可以用同样的代码段了。

3.2.2 代码实现

#include<iostream>using namespace std;const int N = 100010;int a[N],b[N];//在某区间插入某个数，以得到差分数组和前缀和数组
int insert( int l, int r, int c){b[l] = b[l]+c;b[r+1] = b[r+1] -c;
}int main(){int n, m;scanf("%d %d", &n, &m);int c;//假设本身数组a全是0, 那其差分数组也是全0//然后一个个给两个数组插入数据，例如在[1,1] 加上a1,调用insert函数//注意边界，最好从1开始，不然边界超级难处理for(int i = 1; i <= n; i++){scanf("%d", &c);a[i] = c;insert( i, i, c); //意思就是从i 到i这个区间上的数字 都加上c，}int l, r;//更新区间while(m--){scanf("%d %d %d", &l, &r, &c);insert( l, r, c);}//用更新后的b数组还原a数组for(int i = 1; i <= n; i++){a[i] = a[i-1] + b[i]; }//输出最终的数组for(int i = 1; i <= n; i++){printf("%d ", a[i]);}return 0;
}

3.2.3 二维差分的基本思想

思路和一维的是一样的，也不需要考虑直接构造差分数组，而是从0 进行初始化，用bn来生成an，这样b 和 a 数组就都是初始的状态，我们只需要考虑，如何更新：

1、如何更新二维差分数组

如图，在b数组对应的点进行+c 或者 -c的操作，会影响的整个a数组这个点往右及往下的区域都+c或者-c，所以如果只需要对a数组的 x1 x2 y1 y2 围成的矩形中进行+c操作，转化为对b点的操作就是

b[x1][y1] + c; b[x2][y1] - c; b[x1][y2]-c; b[x2][y2]+c

3.2.4 二维差分的代码实现

#include <iostream>using namespace std;const int N = 1010; //二维数组的时候，这里不要太大，满足要求就行int q[N][N], b[N][N];void insert(int xa, int ya, int xb, int yb, int c){b[xa][ya] += c;b[xa][yb+1] -= c;b[xb+1][ya] -=c;b[xb+1][yb+1] +=c;
}int main(){int n, m, qn;scanf("%d %d %d", &n, &m, &qn);//以0开始构建数组for(int i = 1; i<=n; i++){for(int j = 1; j<=m; j++){scanf("%d", &q[i][j]);insert(i,j,i,j,q[i][j]);}}int xa, ya, xb, yb, c;//更新区间while(qn--){scanf("%d %d %d %d %d", &xa, &ya, &xb, &yb, &c);insert( xa, ya, xb, yb, c);}//生成最后的q数组for(int i = 1; i<=n; i++){for(int j = 1; j<=m; j++){q[i][j] = q[i][j-1]+q[i-1][j]-q[i-1][j-1]+b[i][j];}}//输出最终结果for(int i = 1; i<=n; i++){for(int j = 1; j<=m; j++){printf("%d ", q[i][j]);}printf("\n");}return 0;
}

写在最后：

这小节所讲的前缀和与差分，更重要的是一种思想，要明白各自适用于解决什么样的问题，可以在后续做题过程中多总结。加油

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3.1.4 二维前缀和的代码实现

3.2 差分

3.2.1 基本思想

3.2.2 代码实现

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3.2.4 二维差分的代码实现

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