基于卷积神经网络的不良地质体识别与分类

在泛函分析中，卷积、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与g经过翻转和平移的重叠部分的面积。

如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。

褶积(又名卷积)和反褶积(又名去卷积)是一种积分变换的数学方法,在许多方面得到了广泛应用。用褶积解决试井解释中的问题,早就取得了很好成果;而反褶积,直到最近,Schroeter、Hollaender和Gringarten等人解决了其计算方法上的稳定性问题,使反褶积方法很快引起了试井界的广泛注意。有专家认为,反褶积的应用是试井解释方法发展史上的又一次重大飞跃。他们预言,随着测试新工具和新技术的增加和应用,以及与其它专业研究成果的更紧密结合,试井在油气藏描述中的作用和重要性必将不断增大。

设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：

∫∞−∞f(τ)g(x−τ)dτ∫−∞∞f(τ)g(x−τ)dτ

\int_{-\infty}^{\infty} {f(\tau)g(x-\tau)d\tau}

可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。

容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。特别当g为具有紧致集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。

卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果:

y(n)=∑i=−∞∞f(i)g(n−i)=x(n)∗h(n)y(n)=∑i=−∞∞f(i)g(n−i)=x(n)∗h(n)

y(n)=\sum_{i=-\infty}^{\infty} {f(i)g(n-i)}=x(n)*h(n)

其中星号*表示卷积。当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。
如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计算变为:

y(t)=∫∞−∞f(p)g(t−p)dp=x(t)∗h(t)y(t)=∫−∞∞f(p)g(t−p)dp=x(t)∗h(t)

y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} {f(p)g(t-p)dp}=x(t)*h(t)

其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表示卷积。

卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。

F(g(x)∗f(x))=F(g(x))F(f(x))F(g(x)∗f(x))=F(g(x))F(f(x))

F(g(x)*f(x)) = F(g(x))F(f(x))

其中F表示的是傅里叶变换。

这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。

利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n- 1组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。

介绍一个实际的概率学应用例子。假设需求到位时间的到达率为poisson(λ)分布，需求的大小的分布函数为D（.)，则单位时间的需求量的分布函数为 F(x)：

F(x)=∑k=1∞D(k)(x)e−λλk/k!F(x)=∑k=1∞D(k)(x)e−λλk/k!

F(x)=\sum^{\infty}_{k=1}D^{(k)}(x)e^{-\lambda}\lambda^k/k!

其中 D(k)(x)为k阶卷积。

卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积讲得很详细。

高斯变换就是用高斯函数对图像进行卷积。高斯算子可以直接从离散高斯函数得到：

for(i=0; i<N; i++)
{
for(j=0; j<N; j++)
{
g[i*N+j]=exp(-((i-(N-1)/2)^2+(j-(N-1)/2)^2))/(2*delta^2));
sum += g[i*N+j];
}
}

再除以 sum 得到归一化算子

N是滤波器的大小，delta自选

首先，在提到卷积之前，必须提到卷积出现的背景。卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的，脱离这个背景单独谈卷积是没有任何意义的，除了那个所谓褶反公式上的数学意义和积分（或求和，离散情况下）。

信号与线性系统，讨论的就是信号经过一个线性系统以后发生的变化（就是输入输出和所经过的所谓系统，这三者之间的数学关系）。所谓线性系统的含义，就是，这个所谓的系统，带来的输出信号与输入信号的数学关系式之间是线性的运算关系。

因此，实际上，都是要根据我们需要待处理的信号形式，来设计所谓的系统传递函数，那么这个系统的传递函数和输入信号，在数学上的形式就是所谓的卷积关系。

卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。

C++语言代码：

void convolution(float *input1, float *input2, float *output, int mm, int nn)
{ float *xx = new float[mm+nn-1]; // do convolution for (int i = 0; i < mm+nn-1; i++){ xx[i] = 0.0;for (int j = 0; j < mm; j++) { if (i-j > 0 && i-j < nn)xx[i] += input1[j] * input2[i-j]; } }// set value to the output array for (int i = 0; i < mm; i++) output[i] = xx[i + (nn-1) / 2];delete[] xx;
}

地震勘探中,在地表激发点激发的地震子波(seismic wavelet)向地下传播,当遇到地下波阻抗界面时,一部分能量就会作为反射地震波向上反射回地表,被地面的传感器接收,随着地震波不断向下传播、反射、接收,就会记录一系列时间延迟的地震波(大地滤波后的地震子波),称为地震记录 [1] .

这一过程或地震记录可以用数学模型描述.如果假设地下介质为古皮奥(Goupilaud)的水平层状介质模型,子波为雷克(Ricker)子波,地震记录可以看作是由震源子波与地下反射率函数、多次反射、仪器等诸多因素的相褶
积的过程,令x(t),w(t)和n(t)分别表示地震记录,地震子波及噪声,褶积过程数学模型描述为 [1] ：

x(t)=r(t)∗w(t)+n(t)x(t)=r(t)∗w(t)+n(t)

x(t)=r(t)*w(t)+n(t)

其中反射率函数：

r(t)=∑i=1∞riδ(t−τi)r(t)=∑i=1∞riδ(t−τi)

r(t)=\sum^\infty_{i=1}r_i\delta(t- \tau_i)

长期以来,褶积模型广泛用于描述地震信号.顾名思义,反褶积就是褶积的逆过程,从地震记录x(t)中恢复出反射率函数r(t) [1] .

地震波干涉法(Seismic Interferometry)是最近几年地球物理特别是勘探地球物理研究的一个热点。地震波干涉法与物理学中的干涉法类似，但研究对象为地震信号或声信号，其广义的定义是指与地震波有关的干涉现象的研究。通过对记录到的地震信号进行干涉，将得到新的地震信号，这种地震信号不仅包含了原始地震信号的特性，而且能反映出原始信号所不具有的某些重要的特征，如去除复杂地质构造对波传播的影响、把噪声变成有用的信号、提高信号的信噪比以及反映常规的地震处理方法所不能反映的某些复杂地质构造的局部性特征等。

应用现代时间序列分析方法 ,基于 ARMA新息模型提出了白噪声 Wiener反卷积滤波器。该滤波器可统一处理滤波、平滑和预报问题 ,可用 ARMA递推滤波器实现 ,适用于石油地震勘探数据处理。同多项式方法和 Kalman滤波方法相比 ,避免了求解 Diophantine方程和 Riccati方程 ,减少了计算负担。Bernoulli- Gaussian白噪声反卷积的仿真例子说明了其有效性。

西部大开发战略实施以来,西部地区,尤其是新疆等地,修建高速公路成为近年来的首要任务。但是,西部海拔较高,地理环境恶劣,像沙害、盐渍土、冻土和荒漠等特殊地质体广泛分布。以新疆尉犁县罗布人村寨为研究区域,针对当地典型的不良地质体遥感影像特征,重点探讨了深度学习算法中的卷积神经网络方法在不良地质体识别与分类中的应用,实验结果对比分析表明:与K-均值分类器、SVM分类器和贝叶斯分类器对比分类精度,当样本数量较少时卷积神经网络方法优势不明显,当训练样本足够大时,其分类精度达到90%左右,优势非常明显。

百度百科：卷积

百度百科：地震波干涉法

百度学术论文搜索：白噪声Wiener反卷积滤波器

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卷积神经网络为什么能称霸计算机视觉领域？

Understanding deep convolutional networks

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