一、整数规划问题解的特征

整数规划问题解的特征 :

① 整数规划问题与松弛问题可行解集合关系 : 整数规划问题可行解集合 , 是该整数规划问题的松弛问题可行解集合的子集 , 任意两个可行解的凸组合 , 不一定满足整数约束条件 , 不一定是可行解 ;

② 整数规划问题与松弛问题最优解关系 : 整数规划问题的可行解一定是其松弛问题的可行解 , 松弛问题的可行解不一定是整数规划问题的可行解 , 整数规划问题的最优解不会优于松弛问题的最优解 ;

松弛问题比整数规划问题条件少一些 , 整数规划问题比松弛问题变量限制多一条 " 约束变量必须都是整数 " ;

二、整数规划问题与松弛问题示例

假设有如下整数规划问题 :

maxZ=x1+x2s.t{14x1+9x2≤51−6x1+3x2≤1x1,x2≥0并且为整数\begin{array}{lcl} \rm maxZ = x_1 + x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm 14 x_1 + 9x_2 \leq 51 \\\\ \rm -6 x_1 + 3x_2 \leq 1 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \ 并且为整数 \end{cases}\end{array}maxZ=x1+x2s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧14x1+9x2≤51−6x1+3x2≤1x1,x2≥0 并且为整数

上述整数规划问题对应的松弛问题 : 松弛问题比整数规划问题条件少一些 , 整数规划问题比松弛问题变量限制多一条 " 约束变量必须都是整数 " ;

maxZ=x1+x2s.t{14x1+9x2≤51−6x1+3x2≤1x1,x2≥0\begin{array}{lcl} \rm maxZ = x_1 + x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm 14 x_1 + 9x_2 \leq 51 \\\\ \rm -6 x_1 + 3x_2 \leq 1 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array}maxZ=x1+x2s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧14x1+9x2≤51−6x1+3x2≤1x1,x2≥0

使用图解法 , 解上述松弛问题的最优解为 {x1=32x2=103\begin{cases} \rm x_1 = \cfrac{3}{2} \\\\ \rm x_2 = \cfrac{10}{3} \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧x1=23x2=310

此时目标函数值 maxZ=x1+x2=296\rm maxZ = x_1 + x_2 = \cfrac{29}{6}maxZ=x1+x2=629

简单的将其松弛问题最优解上下取整 , 得到的四个点 , 如上图的四个红色点 , 都不在可行域中 , 选择的整数解 , 必须在可行域中 ;

根据整数规划问题的的松弛问题的最优解 , 如何找其整数规划问题的整数最优解 , 是整数规划问题的核心问题 ;

穷举法 ( 有局限性 ) : 直接看上图中可行域内的整数点 , 然后再逐一代入目标函数 , 得到一个整数规划问题的最优解 , 但是这种方法无法推广应用 , 如果点的个数比较多 , 如几万个 , 变量的维数多 , 如 101010 个约束变量 , 这种方法肯定不适用 ;

整数规划问题的求解方法有 : ① 分支定界法 , ② 割平面法 ;

推荐使用分支定界法 ;

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