上接布尔表达式可满足性问题（SAT）与库克-列文定理（上）。（发布博客的时候说正文字数太长，必须分几篇发布qwq。而且CSDN的公式字体突然变得贼难看，不知道为啥awa。）

四、库克-列文定理

定理（Cook-Levin Theorem）布尔表达式可满足性问题是NP\bold{NP}NP完全问题。

证明：

设布尔表达式可满足性问题为SAT={x∈{0,1}∗∣x代表一个可满足的布尔表达式}\text{SAT}=\{x\in\{0,1\}^*|x\text{代表一个可满足的布尔表达式}\}SAT={x∈{0,1}∗∣x代表一个可满足的布尔表达式}。

(1) 先证SAT∈NP\text{SAT}\in\bold{NP}SAT∈NP。显然，对于任一个可满足的布尔表达式，它的一组赋值就是对它的一个证明，而进行验证只需要把值带进去算就可以了，显然可以在多项式时间内完成。因此，SAT\text{SAT}SAT问题可在多项式时间内验证，SAT∈NP\text{SAT}\in\bold{NP}SAT∈NP。

(2) 再证∀L∈NP\forall L\in\bold{NP}∀L∈NP，L≤pSATL\le_p\text{SAT}L≤pSAT。因为LLL属于NP\bold{NP}NP，所以存在非确定性图灵机M=(Q,Σ,q0,B,A,δ)M=(Q,\Sigma,q_0,B,A,\delta)M=(Q,Σ,q0,B,A,δ)使得MMM能够在多项式时间内判定LLL。对于任意输入w∈Lw\in Lw∈L，我们给出一个布尔表达式EEE，使得EEE是可满足的当且仅当MMM接受www。这样，要判定www是否属于LLL的时候，只需判定对应的EEE是不是可满足的，从而将LLL归约到SAT\text{SAT}SAT。

接下来我们构造EEE。设p(n)p(n)p(n)是一个多项式函数（n=∣w∣n=|w|n=∣w∣），它代表MMM的运行步数；q∈Qq\in Qq∈Q，−p(n)≤i≤p(n)-p(n)\le i\le p(n)−p(n)≤i≤p(n)（一个只能运行p(n)p(n)p(n)步的图灵机必不可能访问距初始位置p(n)p(n)p(n)格以外的格子），j∈Σj\in\Sigmaj∈Σ，0≤k≤p(n)0\le k\le p(n)0≤k≤p(n)。我们构造的布尔表达式EEE中将用到以下变量：

变量解释个数

Ti,j,kT_{i,j,k}Ti,j,k 当计算进行到第kkk步，且MMM的带上第iii的元素是字符jjj时，取真。 O(p(n)2)O\left(p(n)^2\right)O(p(n)2)

Hi,kH_{i,k}Hi,k 当计算进行到第kkk步，且MMM的读写头指向带的第iii格时，取真。 O(p(n)2)O\left(p(n)^2\right)O(p(n)2)

Qq,kQ_{q,k}Qq,k 当计算进行到第kkk步，且MMM处于状态qqq时，取真。 O(p(n))O(p(n))O(p(n))

定义EEE是iii取遍−p(n)-p(n)−p(n)到p(n)p(n)p(n)，kkk取遍000到p(n)p(n)p(n)是，下列所有表达式的合取：

表达式条件解释个数

Ti,j,0T_{i,j,0}Ti,j,0 带上第iii格一开始是字符jjj 约束带的初始内容。对于i>n−1i>n-1i>n−1和i<0i<0i<0处（即输入www之外的地方），初始符号都是BBB（空）。 O(p(n))O(p(n))O(p(n))

Qq0,0Q_{q_0,0}Qq0,0 约束MMM的初始状态为q0q_0q0。 111

H0,0H_{0,0}H0,0 约束读写头的初始位置为i=0i=0i=0处。 111

¬Ti,j,k∨¬Ti,j′,k\neg T_{i,j,k}\lor\neg T_{i,j',k}¬Ti,j,k∨¬Ti,j′,k ∀j≠j′\forall j\ne j'∀j=j′ 带的每一格只能有一个元素，同时有多个元素的情况。 O(p(n)2)O\left(p(n)^2\right)O(p(n)2)

⋁j∈ΣTi,j′,k\bigvee\limits_{j\in\Sigma}T_{i,j',k}j∈Σ⋁Ti,j′,k 带的每一格至少有一个元素，与上一条配合使用。 O(p(n)2)O\left(p(n)^2\right)O(p(n)2)

Ti,j,k∧Ti,j′,k+1→Hi,kT_{i,j,k}\land T_{i,j',k+1}\to H_{i,k}Ti,j,k∧Ti,j′,k+1→Hi,k ∀j≠j′\forall j\ne j'∀j=j′ 除非带被写，否则保持不变。
即：当Ti,j,kT_{i,j,k}Ti,j,k和Ti,j′,k+1T_{i,j',k+1}Ti,j′,k+1同时成立，读写头此时一定在第iii格处。 O(p(n)2)O\left(p(n)^2\right)O(p(n)2)

¬Qq,k∨¬Qq′,k\neg Q_{q,k}\lor\neg Q_{q',k}¬Qq,k∨¬Qq′,k ∀q≠q′\forall q\ne q'∀q=q′ 每时每刻MMM只能由一个状态。 O(p(n))O(p(n))O(p(n))

¬Hi,k∨¬Hi′,k\neg H_{i,k}\lor\neg H_{i',k}¬Hi,k∨¬Hi′,k ∀i≠i′\forall i\ne i'∀i=i′ 每时每刻读写头只能有一个位置。 O(p(n)3)O\left(p(n)^3\right)O(p(n)3)

(Hi,k∧Qq,k∧Ti,σ,k)→⋁((q,σ),(q′,σ′,d))∈δ(Hi+d,k+1∧Qq′,k+1∧Ti,σ′,k+1)\left(H_{i,k}\land Q_{q,k}\land T_{i,\sigma,k}\right)\to\bigvee\limits_{((q,\sigma),(q',\sigma',d))\in\delta}(H_{i+d,k+1}\land Q_{q',k+1}\land T_{i,\sigma',k+1})(Hi,k∧Qq,k∧Ti,σ,k)→((q,σ),(q′,σ′,d))∈δ⋁(Hi+d,k+1∧Qq′,k+1∧Ti,σ′,k+1) ∀k<p(n)\forall k<p(n)∀k<p(n) 进行到第kkk步、读写头在第iii格时、状态为qqq时，转移到所有可能的格局。 O(p(n)2)O\left(p(n)^2\right)O(p(n)2)

⋁0≤k≤p(n)⋁f∈AQf,k\bigvee\limits_{0\le k\le p(n)}\bigvee\limits_{f\in A}Q_{f,k}0≤k≤p(n)⋁f∈A⋁Qf,k MMM必须在p(n)p(n)p(n)步内在一个接受状态停机。 1

这样一来，如果MMM对输入www有一个计算序列可以进入停机格局，那么根据对应的计算过程给变量Ti,j,k,Hi,k,Qi,kT_{i,j,k},H_{i,k},Q_{i,k}Ti,j,k,Hi,k,Qi,k赋值，就可以得出EEE是可满足的。另一方面，如果EEE是可满足的，那么它一定存在一组成真赋值，根据这组赋值就可以得出MMM的运行过程（即每一步如何选择）。

最后只需证明这个归约是多项式时间的归约。总共有O(p(n)2)O\left(p(n)^2\right)O(p(n)2)个布尔变量，每个变量都可以在O(log⁡p(n))O(\log p(n))O(logp(n))的空间内编码成二进制串。子句的个数为O(p(n)3)O\left(p(n)^3\right)O(p(n)3)，所以EEE的大小为O(log⁡(p(n))p(n)3)O\left(\log(p(n))p(n)^3\right)O(log(p(n))p(n)3)，是nnn的多项式函数。因此这个归约是多项式时间的。

Q.E.D.\text{Q.E.D.}Q.E.D.

变量	解释	个数
Ti,j,kT_{i,j,k}Ti,j,k	当计算进行到第kkk步，且MMM的带上第iii的元素是字符jjj时，取真。	O(p(n)2)O\left(p(n)^2\right)O(p(n)2)
Hi,kH_{i,k}Hi,k	当计算进行到第kkk步，且MMM的读写头指向带的第iii格时，取真。	O(p(n)2)O\left(p(n)^2\right)O(p(n)2)
Qq,kQ_{q,k}Qq,k	当计算进行到第kkk步，且MMM处于状态qqq时，取真。	O(p(n))O(p(n))O(p(n))

表达式	条件	解释	个数
Ti,j,0T_{i,j,0}Ti,j,0	带上第iii格一开始是字符jjj	约束带的初始内容。对于i>n−1i>n-1i>n−1和i<0i<0i<0处（即输入www之外的地方），初始符号都是BBB（空）。	O(p(n))O(p(n))O(p(n))
Qq0,0Q_{q_0,0}Qq0,0		约束MMM的初始状态为q0q_0q0。	111
H0,0H_{0,0}H0,0		约束读写头的初始位置为i=0i=0i=0处。	111
¬Ti,j,k∨¬Ti,j′,k\neg T_{i,j,k}\lor\neg T_{i,j',k}¬Ti,j,k∨¬Ti,j′,k	∀j≠j′\forall j\ne j'∀j=j′	带的每一格只能有一个元素，同时有多个元素的情况。	O(p(n)2)O\left(p(n)^2\right)O(p(n)2)
⋁j∈ΣTi,j′,k\bigvee\limits_{j\in\Sigma}T_{i,j',k}j∈Σ⋁Ti,j′,k		带的每一格至少有一个元素，与上一条配合使用。	O(p(n)2)O\left(p(n)^2\right)O(p(n)2)
Ti,j,k∧Ti,j′,k+1→Hi,kT_{i,j,k}\land T_{i,j',k+1}\to H_{i,k}Ti,j,k∧Ti,j′,k+1→Hi,k	∀j≠j′\forall j\ne j'∀j=j′	除非带被写，否则保持不变。即：当Ti,j,kT_{i,j,k}Ti,j,k和Ti,j′,k+1T_{i,j',k+1}Ti,j′,k+1同时成立，读写头此时一定在第iii格处。	O(p(n)2)O\left(p(n)^2\right)O(p(n)2)
¬Qq,k∨¬Qq′,k\neg Q_{q,k}\lor\neg Q_{q',k}¬Qq,k∨¬Qq′,k	∀q≠q′\forall q\ne q'∀q=q′	每时每刻MMM只能由一个状态。	O(p(n))O(p(n))O(p(n))
¬Hi,k∨¬Hi′,k\neg H_{i,k}\lor\neg H_{i',k}¬Hi,k∨¬Hi′,k	∀i≠i′\forall i\ne i'∀i=i′	每时每刻读写头只能有一个位置。	O(p(n)3)O\left(p(n)^3\right)O(p(n)3)
(Hi,k∧Qq,k∧Ti,σ,k)→⋁((q,σ),(q′,σ′,d))∈δ(Hi+d,k+1∧Qq′,k+1∧Ti,σ′,k+1)\left(H_{i,k}\land Q_{q,k}\land T_{i,\sigma,k}\right)\to\bigvee\limits_{((q,\sigma),(q',\sigma',d))\in\delta}(H_{i+d,k+1}\land Q_{q',k+1}\land T_{i,\sigma',k+1})(Hi,k∧Qq,k∧Ti,σ,k)→((q,σ),(q′,σ′,d))∈δ⋁(Hi+d,k+1∧Qq′,k+1∧Ti,σ′,k+1)	∀k<p(n)\forall k<p(n)∀k<p(n)	进行到第kkk步、读写头在第iii格时、状态为qqq时，转移到所有可能的格局。	O(p(n)2)O\left(p(n)^2\right)O(p(n)2)
⋁0≤k≤p(n)⋁f∈AQf,k\bigvee\limits_{0\le k\le p(n)}\bigvee\limits_{f\in A}Q_{f,k}0≤k≤p(n)⋁f∈A⋁Qf,k		MMM必须在p(n)p(n)p(n)步内在一个接受状态停机。	1

这个归约到底是怎么运作的呢？首先，L∈NPL\in\bold{NP}L∈NP，因此非确定型图灵机MMM到底怎么写我们是完全知道的。那么对于任意输入w∈Lw\in Lw∈L，我们就根据上面的规则，把MMM的运作过程转化成布尔表达式。因为MMM的运作步数是www的多项式函数，而把运作过程转化成布尔表达式需要多项式大小的空间，且在这些空间上我们不需进行多余的计算，一份空间对应一份时间，所以归约的时间复杂度是多项式函数。

参考文献

美国克雷数学研究所对P=NP?问题的官方表述：https://www.claymath.org/sites/default/files/pvsnp.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_satisfiability_problem
https://en.wikipedia.org/wiki/Cook%E2%80%93Levin_theorem
https://plato.stanford.edu/entries/turing-machine/
https://math.stackexchange.com/questions/4302872/why-does-alan-turing-proof-of-the-halting-problem-is-considered-a-proof-that-mat
https://www.geeksforgeeks.org/difference-between-turing-machine-and-universal-turing-machine/
https://en.wikipedia.org/wiki/P_(complexity)
https://en.wikipedia.org/wiki/NP_(complexity)
https://en.wikipedia.org/wiki/Certificate_(complexity)
https://gaming.stackexchange.com/questions/20219/is-minecraft-turing-complete
《算法导论》（机械工业出版社）
《离散数学》（清华大学出版社）
https://en.wikipedia.org/wiki/Reduction_(complexity)
《计算复杂性：现代方法》（机械工业出版社）
https://en.wikipedia.org/wiki/Nondeterministic_Turing_machine
https://cs.stackexchange.com/questions/58154/how-does-nondeterministic-time-relate-to-verifiability

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