弧微分的基本公式：(ds)2=(dx)2+(dy)2，(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2，(ds)2=(dx)2+(dy)2，其中：
（1）设L：y=f(x)，则ds=1+f′2(x)dx；（公式1−1）L：y=f(x)，则ds=\sqrt{1+f\;'\;^2(x)}\;dx；\text （{公式1-1}）L：y=f(x)，则ds=1+f′2(x)​dx；（公式1−1）
（2）设L:{x=ϕ(t),y=ψ(t)，则ds=ϕ′2(t)+ψ′2(t)dt；（公式1−2）L: \begin{cases} x=\phi(t), \\ y=\psi(t)，\\ \end{cases}则ds=\sqrt{\phi\;'\;^2(t)+\psi\;'\;^2(t)}\;dt；\text （{公式1-2}）L:{x=ϕ(t),y=ψ(t)，​则ds=ϕ′2(t)+ψ′2(t)​dt；（公式1−2）
（3）设L：r=r(θ)，则ds=r2(θ)+r′2(θ)dθ；（公式1−3）L：r=r(\theta)，则ds=\sqrt{r^2(\theta)+r\;'\;^2(\theta)}\;d\theta；\text （{公式1-3}）L：r=r(θ)，则ds=r2(θ)+r′2(θ)​dθ；（公式1−3）

定积分的几何应用
1.面积
(1)设D由y=f(x)≥0，x=a及x=b(a<b)围成，则D的面积为A=∫abf(x)dx（公式1−4)设D由y=f(x)\geq0，x=a及x=b(a<b)围成，\\ 则D的面积为A=\int_a^bf(x)\;dx \text （{公式1-4})设D由y=f(x)≥0，x=a及x=b(a<b)围成，则D的面积为A=∫ab​f(x)dx（公式1−4)

(2)设D是由r=r(θ)(α≤θ≤β)围成，则用元素法求D的面积，如下：取dθ⊂[α，β]，则dA=12r2(θ)dθ，于是D的面积为A=12∫αβr2(θ)dθ（公式1−5)设D是由r=r(\theta)(\alpha\leq\theta\leq\beta)围成，则用元素法求D的面积，如下：\\ 取d\theta\subset[\alpha，\beta]，则dA=\frac{1}{2}r^2(\theta)\;d\theta，\\ 于是D的面积为A=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta {r^2(\theta)\;d\theta} \text （{公式1-5})设D是由r=r(θ)(α≤θ≤β)围成，则用元素法求D的面积，如下：取dθ⊂[α，β]，则dA=21​r2(θ)dθ，于是D的面积为A=21​∫αβ​r2(θ)dθ（公式1−5)

(旋转曲面的面积)
设L:y=f(x)(a≤x≤b)，则L绕x轴旋转所得旋转体侧面积的求法如下：取[x,x+dx]⊂[a，b]，则dA=2π⋅∣f(x)∣ds，于是侧面积为A=2π∫ab∣f(x)∣ds=2π∫ab∣f(x)∣⋅1+f′2(x)dx（公式1−6)设L:y=f(x)(a\leq x\leq b)，则L绕x轴旋转所得旋转体侧面积的求法如下：\\ 取[x,x+dx]\subset[a，b]，则dA=2\pi\cdot|f(x)|\;ds，于是侧面积为\\ A=2\pi\int_a^b{|f(x)|\;ds}=2\pi\int_a^b{|f(x)|\cdot\sqrt{1+f\;'\;^2(x)}\;dx} \text （{公式1-6})设L:y=f(x)(a≤x≤b)，则L绕x轴旋转所得旋转体侧面积的求法如下：取[x,x+dx]⊂[a，b]，则dA=2π⋅∣f(x)∣ds，于是侧面积为A=2π∫ab​∣f(x)∣ds=2π∫ab​∣f(x)∣⋅1+f′2(x)​dx（公式1−6)

2.体积
(1)设L：y=f(x)(a≤x≤b)，则L与x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为Vx=π⋅∫abf2(x)dx（公式1−7)设L：y=f(x)(a\leq x\leq b)，则L与x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为\\ V_x=\pi\cdot\int_a^b{f^2(x)\;dx} \text （{公式1-7})设L：y=f(x)(a≤x≤b)，则L与x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为Vx​=π⋅∫ab​f2(x)dx（公式1−7)
(2)L：y=f(x)(a≤x≤b)，则L与x轴围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为Vy=2π⋅∫ab∣x∣⋅∣f(x)∣dx（公式1−8)L：y=f(x)(a\leq x\leq b)，则L与x轴围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为\\ V_y=2\pi\cdot\int_a^b{|x|\cdot|f(x)|\;dx} \text （{公式1-8})L：y=f(x)(a≤x≤b)，则L与x轴围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为Vy​=2π⋅∫ab​∣x∣⋅∣f(x)∣dx（公式1−8)
(3)极坐标系下绕极轴旋转一周旋转体体积公式为V=23π∫αβr3(θ)⋅sin⁡θdθ（公式1−9)极坐标系下绕极轴旋转一周旋转体体积公式为\\ V=\frac{2}{3}\pi\int_\alpha^\beta r^3(\theta)\cdot \sin\theta\;d\theta\text （{公式1-9})极坐标系下绕极轴旋转一周旋转体体积公式为V=32​π∫αβ​r3(θ)⋅sinθdθ（公式1−9)
极坐标系下绕极轴旋转一周旋转体体积公式推导

一、摆线

极坐标或参数形式：
{x=a(t−sint),y=a(1−cost).\; \begin{cases} x=a(t-sint), \\ y=a(1-cost).\\ \end{cases} {x=a(t−sint),y=a(1−cost).​
摆线图形：

(a>0，0≤t≤2π)(a>0，0\leq t\leq2\pi)(a>0，0≤t≤2π)

①弧长

由公式1-2，弧微分：ds=[a(t−sin⁡t)]′2+[a(1−cos⁡t)]′2dt=[a(1−cos⁡t)]2+(a⋅sin⁡t)2dt=a2−2a2⋅cos⁡t+a2⋅cos⁡2t+a2⋅sin⁡2tdt=a2−2a2⋅cos⁡t+a2dt=2a⋅1−cos⁡tdt=2a⋅1−cos⁡t2dt=2a⋅1−1+cos⁡t2dt=2a⋅1−cos⁡2t2dt=2a⋅∣sin⁡t2∣dt\begin{aligned} ds & =\sqrt{[a( t-\sin t)]\;'\;^2+[a(1-\cos t)]\;'\;^2}\;dt \\ & =\sqrt{[a(1-\cos t)]^2+(a\cdot\sin t)^2}\;dt \\ & =\sqrt{a^2-2a^2\cdot \cos t+a^2\cdot\cos^2 t+a^2\cdot\sin^2 t}\;dt \\ & =\sqrt{a^2-2a^2\cdot \cos t+a^2}\;dt \\ & =\sqrt2a\cdot\sqrt{1-\cos t}\;dt \\ & =2a\cdot\sqrt\frac{1-\cos t}{2}\;dt \\ & =2a\cdot\sqrt{1-\frac{1+\cos t}{2}}\;dt \\ & =2a\cdot\sqrt{1-\cos^2\frac{ t}{2}}\;dt \\ & =2a\cdot|\sin\frac{t}{2}|\;dt \\ \end{aligned} ds​=[a(t−sint)]′2+[a(1−cost)]′2​dt=[a(1−cost)]2+(a⋅sint)2​dt=a2−2a2⋅cost+a2⋅cos2t+a2⋅sin2t​dt=a2−2a2⋅cost+a2​dt=2​a⋅1−cost​dt=2a⋅21−cost​​dt=2a⋅1−21+cost​​dt=2a⋅1−cos22t​​dt=2a⋅∣sin2t​∣dt​
弧长：S=∫02π2a⋅∣sin⁡t2∣dt=4a∫02π∣sint2∣d(t2)=4a∫0πsin⁡tdt=8aS=\int_0^{2\pi} {2a\cdot|\sin\frac{t}{2}}|\;dt =4a\int_0^{2\pi}|sin\frac{t}{2}|\;d(\frac{t}{2}) =4a\int_0^{\pi}\sin t\;dt =8a S=∫02π​2a⋅∣sin2t​∣dt=4a∫02π​∣sin2t​∣d(2t​)=4a∫0π​sintdt=8a

②面积

1.平面图形的面积

摆线一拱与xxx轴围成的面积由公式1-4，DDD由y，x=0,x=2πay，x=0,x=2\pi ay，x=0,x=2πa围成，则D=∫02πaf(x)dxD=\int_0^{2\pi a}f(x)\;dxD=∫02πa​f(x)dx，再根据参数方程换元。
∫02πadx\int_0^{2\pi a}\;dx∫02πa​dx ⟹x=a(t−sint)\overset{x=a(t-sint)}\Longrightarrow⟹x=a(t−sint)​ ∫02πd[a(t−sint)]\int_0^{2\pi }d[a(t-sint)]∫02π​d[a(t−sint)]
A=∫02πa(1−cos⁡t)d[a(t−sin⁡t)]=a2∫02π(1−cos⁡t)2dt=8a2∫02π(1−1+cost2)2d(t2)=8a2∫0πsin4dt=16a2∫0π2sin4dt=16a2⋅34⋅12⋅π2=3πa2\begin{aligned} A & =\int_0^{2\pi }a(1-\cos t)\;d[a(t-\sin t)] \\ & =a^2\int_0^{2\pi }(1-\cos t)^2\;dt \\ & =8a^2\int_0^{2\pi }(1-\frac{1+cost}{2})^2\;d(\frac{t}{2}) \\ & =8a^2\int_0^{\pi }sin^4\;dt \\ & =16a^2\int_0^{\frac{\pi}{2} }sin^4\;dt \\ & =16a^2\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2} \\ & =3\pi a^2 \\ \end{aligned}A​=∫02π​a(1−cost)d[a(t−sint)]=a2∫02π​(1−cost)2dt=8a2∫02π​(1−21+cost​)2d(2t​)=8a2∫0π​sin4dt=16a2∫02π​​sin4dt=16a2⋅43​⋅21​⋅2π​=3πa2​

2.旋转曲面的侧面积（绕x轴旋转）

在①弧长中已经计算出来，弧微分：ds=2a⋅∣sin⁡t2∣dtds=2a\cdot|\sin\frac{t}{2}|\;dtds=2a⋅∣sin2t​∣dt
由公式1-6，面积元素：
dA=2π⋅∣f(x)∣ds=2π⋅∣a(1−cost)∣⋅2a⋅∣sin⁡t2∣dt=4a2π⋅∣1−cost∣⋅∣sin⁡t2∣dtdA=2\pi\cdot|f(x)|\;ds=2\pi\cdot|a(1-cost)|\cdot2a\cdot|\sin\frac{t}{2}|\;dt\\ =4a^2\pi\cdot|1-cost|\cdot|\sin\frac{t}{2}|\;dtdA=2π⋅∣f(x)∣ds=2π⋅∣a(1−cost)∣⋅2a⋅∣sin2t​∣dt=4a2π⋅∣1−cost∣⋅∣sin2t​∣dt
A=∫02π4a2π⋅∣1−cost∣⋅∣sin⁡t2∣dt=16a2π∫02π∣1−cos⁡t2∣⋅∣sin⁡t2∣d(t2)=16a2π∫02π∣1−cos⁡2t2∣⋅∣sin⁡t2∣d(t2)=16a2π∫0πsin⁡3tdt=32a2π∫0π2sin⁡3tdt=32a2π⋅23⋅1=643πa2\begin{aligned} A & =\int_0^{2\pi }4a^2\pi\cdot|1-cost|\cdot|\sin\frac{t}{2}|\;dt \\ & =16a^2\pi\int_0^{2\pi }|\frac{1-\cos t}{2}|\cdot|\sin\frac{t}{2}|\;d(\frac{t}{2}) \\ & =16a^2\pi\int_0^{2\pi }|1-\cos^2\frac{t}{2}|\cdot|\sin\frac{t}{2}|\;d(\frac{t}{2}) \\ & =16a^2\pi\int_0^{\pi }\sin^3t\;dt \\ & =32a^2\pi\int_0^{\frac{\pi}{2} }\sin^3t\;dt \\ & =32a^2\pi\cdot\frac{2}{3}\cdot1 \\ & =\frac{64}{3}\pi a^2 \end{aligned} A​=∫02π​4a2π⋅∣1−cost∣⋅∣sin2t​∣dt=16a2π∫02π​∣21−cost​∣⋅∣sin2t​∣d(2t​)=16a2π∫02π​∣1−cos22t​∣⋅∣sin2t​∣d(2t​)=16a2π∫0π​sin3tdt=32a2π∫02π​​sin3tdt=32a2π⋅32​⋅1=364​πa2​

③体积

1.绕x轴旋转

摆线一拱与xxx轴围成的面积DDD由y，x=0,x=2πay，x=0,x=2\pi ay，x=0,x=2πa围成，则该面积绕xxx轴旋转一周后，由公式1-7，
则Vx=π⋅∫abf2(x)dx=π⋅∫02πaf2(x)dxV_x=\pi\cdot\int_a^b{f^2(x)\;dx}=\pi\cdot\int_0^{2\pi a}{f^2(x)\;dx}Vx​=π⋅∫ab​f2(x)dx=π⋅∫02πa​f2(x)dx，再根据参数方程换元。
∫02πadx\int_0^{2\pi a}dx∫02πa​dx ⟹x=a(t−sint)\overset{x=a(t-sint)}\Longrightarrow⟹x=a(t−sint)​ ∫02πd[a(t−sint)]\int_0^{2\pi }d[a(t-sint)]∫02π​d[a(t−sint)]
Vx=π∫02π[a(1−cos⁡t)]2d[a(t−sin⁡t)]=πa3∫02π(1−cos⁡t)3dt=16πa3∫02π(1−cos⁡t2)3d(t2)=16πa3∫02π(1−1+cos⁡t2)3d(t2)=16πa3∫02π(1−cos⁡2t2)3d(t2)=16πa3∫0πsin⁡t6dt=32πa3∫0π2sin⁡t6dt=32πa3⋅56⋅34⋅12⋅π2=5π2⋅a3\begin{aligned} V_x & =\pi\int_0^{2\pi }[a(1-\cos t)]^2\;d[a(t-\sin t)] \\ & =\pi a^3\int_0^{2\pi }(1-\cos t)^3\;dt \\ & =16\pi a^3\int_0^{2\pi }(\frac{1-\cos t}{2})^3\;d(\frac{t}{2}) \\ & =16\pi a^3\int_0^{2\pi }(1-{\frac{1+\cos t}{2}})^3\;d(\frac{t}{2}) \\ & =16\pi a^3\int_0^{2\pi }(1-\cos^2 \frac{t}{2})^3\;d(\frac{t}{2})\\ & =16\pi a^3\int_0^{\pi }\sin t^6\;dt \\ & =32\pi a^3\int_0^{\frac{\pi}{2} }\sin t^6\;dt \\ & =32\pi a^3\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2} \\ & =5\pi^2\cdot a^3 \end{aligned} Vx​​=π∫02π​[a(1−cost)]2d[a(t−sint)]=πa3∫02π​(1−cost)3dt=16πa3∫02π​(21−cost​)3d(2t​)=16πa3∫02π​(1−21+cost​)3d(2t​)=16πa3∫02π​(1−cos22t​)3d(2t​)=16πa3∫0π​sint6dt=32πa3∫02π​​sint6dt=32πa3⋅65​⋅43​⋅21​⋅2π​=5π2⋅a3​

2.绕y轴旋转

摆线一拱与xxx轴围成的面积DDD由y，x=0,x=2πay，x=0,x=2\pi ay，x=0,x=2πa围成，则该面积绕yyy轴旋转一周后，由公式1-8，
则Vy=2π⋅∫ab∣x∣⋅∣f(x)∣dxV_y=2\pi\cdot\int_a^b{|x|\cdot|f(x)|\;dx}Vy​=2π⋅∫ab​∣x∣⋅∣f(x)∣dx，再根据参数方程换元。
∫02πadx\int_0^{2\pi a}dx∫02πa​dx ⟹x=a(t−sint)\overset{x=a(t-sint)}\Longrightarrow⟹x=a(t−sint)​ ∫02πd[a(t−sint)]\int_0^{2\pi }d[a(t-sint)]∫02π​d[a(t−sint)]

Vy=2π∫02π∣a(t−sin⁡t)∣⋅∣a(1−cos⁡t)∣d[a(t−sin⁡t)]=2πa3∫02π∣t−sin⁡t∣⋅(1−cos⁡t)2dt(令t−π=x)⇒=2πa3∫−ππ∣(x+π)−sin⁡(x+π)∣⋅[1−cos⁡(x+π)]2dx=2πa3∫−ππ[∣x+sin⁡x∣⋅(1+cos⁡x)2+π⋅(1+cos⁡x)2]dx(此时∫−ππdx为对称区域，而x与sinx为奇函数，所以∫−ππ∣x+sin⁡x∣⋅(1+cos⁡x)2dx=0)=2πa3∫−πππ(1+cos⁡x)2dx=16π2a3∫−ππ(1+cos⁡x2)2d(x2)=16π2a3∫−ππcos⁡4x2d(x2)=32π2a3∫0π2cos⁡4xdx=32π2a3⋅34⋅12⋅π2=6π3a3\begin{aligned} V_y & =2\pi\int_0^{2\pi }|a(t-\sin t)|\cdot|a(1-\cos t)|\;d[a(t-\sin t)] \\ & =2\pi a^3\int_0^{2\pi }|t-\sin t|\cdot(1-\cos t)^2\;dt \\ & (令t-\pi=x)\Rightarrow\;\;=2\pi a^3\int_{-\pi}^{\pi }|(x+\pi)-\sin (x+\pi)|\cdot[1-\cos (x+\pi)]^2\;dx\\ & =2\pi a^3\int_{-\pi}^{\pi }[\;|x+\sin x|\cdot(1+\cos x)^2+\pi\cdot(1+\cos x)^2\;]\;dx \\ &(此时\int_{-\pi}^{\pi }dx为对称区域，而x与sinx为奇函数，所以\int_{-\pi}^{\pi }|x+\sin x|\cdot(1+\cos x)^2\;dx=0)\\ & =2\pi a^3\int_{-\pi}^{\pi}\pi(1+\cos x)^2\;dx \\ & =16\pi^2a^3\int_{-\pi}^{\pi} (\frac{1+\cos x}{2})^2\;d(\frac{x}{2})\\ & =16\pi^2a^3\int_{-\pi}^{\pi} \cos^4\frac{x}{2}\;d(\frac{x}{2}) \\ & =32\pi^2a^3\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^4x\;dx \\ & =32\pi^2a^3\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2} \\ & =6\pi^3a^3 \end{aligned} Vy​​=2π∫02π​∣a(t−sint)∣⋅∣a(1−cost)∣d[a(t−sint)]=2πa3∫02π​∣t−sint∣⋅(1−cost)2dt(令t−π=x)⇒=2πa3∫−ππ​∣(x+π)−sin(x+π)∣⋅[1−cos(x+π)]2dx=2πa3∫−ππ​[∣x+sinx∣⋅(1+cosx)2+π⋅(1+cosx)2]dx(此时∫−ππ​dx为对称区域，而x与sinx为奇函数，所以∫−ππ​∣x+sinx∣⋅(1+cosx)2dx=0)=2πa3∫−ππ​π(1+cosx)2dx=16π2a3∫−ππ​(21+cosx​)2d(2x​)=16π2a3∫−ππ​cos42x​d(2x​)=32π2a3∫02π​​cos4xdx=32π2a3⋅43​⋅21​⋅2π​=6π3a3​

二、心形线

直角坐标形式：
x2+y2−ax=ax2+y2x^2+y^2-ax=a\sqrt {x^2+y^2}x2+y2−ax=ax2+y2​
极坐标或参数形式：
r=a(1+cos⁡θ)r=a(1+\cos \theta) r=a(1+cosθ)

令{x=rcos⁡θy=rsin⁡θ，则x2+y2−ax=ax2+y2可表示为(rcos⁡θ)2+(rsin⁡θ)2−a(rcos⁡θ)=a(rcos⁡θ)2+(rsin⁡θ2)即r2−a⋅rcos⁡θ=a⋅r⇒r=a(1+cos⁡θ)令 \begin{cases} x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \\ \end{cases}，则x^2+y^2-ax=a\sqrt {x^2+y^2}可表示为\\ (r \cos \theta)^2+(r \sin \theta)^2-a(r \cos \theta)=a\sqrt {(r \cos \theta)^2+(r \sin \theta^2}) \\ 即r^2-a\cdot r \cos \theta= a\cdot r\\ \Rightarrow r=a(1+\cos \theta) 令{x=rcosθy=rsinθ​，则x2+y2−ax=ax2+y2​可表示为(rcosθ)2+(rsinθ)2−a(rcosθ)=a(rcosθ)2+(rsinθ2​)即r2−a⋅rcosθ=a⋅r⇒r=a(1+cosθ)

r=a(1+cos⁡θ)r=a(1+\cos \theta)r=a(1+cosθ)心形线图形：
将上图顺时针旋转90°得到r=a(1−sin⁡θ)r=a(1-\sin\theta)r=a(1−sinθ)
将上图水平翻转得到r=a(1−cos⁡θ)r=a(1-\cos \theta)r=a(1−cosθ)
将上图逆时针旋转90°得到r=a(1+sin⁡θ)r=a(1+\sin \theta)r=a(1+sinθ)

(a>0，0≤θ≤2π)(a>0，0\leq \theta\leq2\pi)(a>0，0≤θ≤2π)

①弧长

由公式1-3，弧微分：ds=[a(1+cos⁡θ)]2+[a(1+cos⁡θ)]′2dθ=a2+2a2⋅cos⁡θ+a2⋅cos⁡2θ+a2⋅sin⁡2θdθ=a2+2a2⋅cos⁡θ+a2dθ=2a⋅1+cos⁡θdθ=2a⋅1+cos⁡θ2dθ=2a⋅cos2θ2dθ=2a⋅∣cos⁡θ2∣dθ\begin{aligned} ds & =\sqrt{[a(1+\cos\theta)]^2+[a(1+\cos\theta)]\;'\;^2}\;d\theta \\ & =\sqrt{a^2+2a^2\cdot \cos\theta+a^2\cdot\cos^2\theta+a^2\cdot\sin^2 \theta}\;d\theta \\ & =\sqrt{a^2+2a^2\cdot \cos\theta+a^2}\;d\theta \\ & =\sqrt2a\cdot\sqrt{1+\cos\theta}\;d\theta \\ & =2a\cdot\sqrt\frac{1+\cos\theta}{2}\;d\theta \\ & =2a\cdot\sqrt{cos^2\frac{\theta}{2}}\;d\theta \\ & =2a\cdot|\cos\frac{\theta}{2}|\;d\theta \\ \end{aligned}ds​=[a(1+cosθ)]2+[a(1+cosθ)]′2​dθ=a2+2a2⋅cosθ+a2⋅cos2θ+a2⋅sin2θ​dθ=a2+2a2⋅cosθ+a2​dθ=2​a⋅1+cosθ​dθ=2a⋅21+cosθ​​dθ=2a⋅cos22θ​​dθ=2a⋅∣cos2θ​∣dθ​
（图像关于极轴对称，因此整个弧长等于2倍上半轴的弧长）
弧长：S=2∫0π2a⋅∣cos⁡θ2∣dθ=8a∫0π∣cosθ2∣d(θ2)=8a∫0π2cos⁡θdθ=8aS=2\int_0^{\pi} {2a\cdot|\cos\frac{\theta}{2}|} \;d\theta =8a\int_0^{\pi}|cos\frac{\theta}{2}|\;d(\frac{\theta}{2}) =8a\int_0^\frac{\pi}{2}\cos\theta\;d\theta =8a S=2∫0π​2a⋅∣cos2θ​∣dθ=8a∫0π​∣cos2θ​∣d(2θ​)=8a∫02π​​cosθdθ=8a

②面积

1.平面图形的面积

(图像关于极轴对称，因此整个面积等于2倍上半轴的面积)
由公式1-5，
A=2⋅12∫0π[a(1+cos⁡θ)]2dθ=a2∫0π(1+cos⁡θ)2dθ=8a2∫0π(1+cos⁡θ2)2d(θ2)=8a2∫0π2cos⁡4θdθ=8a2⋅34⋅12⋅π2=32πa2\begin{aligned} A & =2\cdot\frac{1}{2}\int_0^\pi {[a(1+\cos \theta)]^2\;d\theta} \\ & =a^2\int_0^\pi {(1+\cos \theta)^2\;d\theta} \\ & =8a^2\int_{0}^{\pi} (\frac{1+\cos\theta}{2})^2\;d(\frac{\theta}{2})\\ & =8a^2\int_{0}^\frac{\pi}{2} \cos^4\theta\;d\theta \\ & =8a^2\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2} \\ & =\frac{3}{2}\pi a^2\\ \end{aligned} \\ A​=2⋅21​∫0π​[a(1+cosθ)]2dθ=a2∫0π​(1+cosθ)2dθ=8a2∫0π​(21+cosθ​)2d(2θ​)=8a2∫02π​​cos4θdθ=8a2⋅43​⋅21​⋅2π​=23​πa2​

2.旋转曲面的侧面积（绕极轴旋转）

在①弧长中已经计算出来，弧微分：ds=2a⋅∣cos⁡θ2∣dθds=2a\cdot|\cos\frac{\theta}{2}|\;d\thetads=2a⋅∣cos2θ​∣dθ
由公式1-6，面积元素：
dA=2π⋅∣f(x)∣ds=2π⋅∣r⋅sin⁡θ∣⋅2a⋅∣cos⁡θ2∣dθ(而r=a(1+cos⁡θ))=2π⋅∣a(1+cos⁡θ)⋅sin⁡θ∣⋅2a⋅∣cos⁡θ2∣dθdA=2\pi\cdot|f(x)|\;ds=2\pi\cdot|r\cdot \sin\theta|\cdot 2a\cdot|\cos\frac{\theta}{2}|\;d\theta\\ (而r=a(1+\cos \theta))=2\pi\cdot|a(1+\cos \theta)\cdot \sin\theta|\cdot 2a\cdot|\cos\frac{\theta}{2}|\;d\thetadA=2π⋅∣f(x)∣ds=2π⋅∣r⋅sinθ∣⋅2a⋅∣cos2θ​∣dθ(而r=a(1+cosθ))=2π⋅∣a(1+cosθ)⋅sinθ∣⋅2a⋅∣cos2θ​∣dθ
A=∫0π2π⋅∣a(1+cos⁡θ)⋅sin⁡θ∣⋅2a⋅∣cos⁡θ2∣dθ=8πa2∫0π∣1+cos⁡θ2⋅2sin⁡θ2⋅2cos⁡θ2∣⋅∣cos⁡θ2∣d(θ2)=32πa2∫0π∣cos⁡4θ2⋅sin⁡θ2∣d(θ2)=−32πa2∫0π2cos⁡4θd(cos⁡θ)=−32πa2∫10θ4dθ=32πa2∫01θ4dθ=325πa2\begin{aligned} A & =\int_0^{\pi }2\pi\cdot|a(1+\cos \theta)\cdot \sin\theta|\cdot 2a\cdot|\cos\frac{\theta}{2}|\;d\theta \\ & =8\pi a^2\int_0^{\pi }|\frac{1+\cos \theta}{2}\cdot2\sin\frac{\theta}{2}\cdot2\cos\frac{\theta}{2}|\cdot|\cos\frac{\theta}{2}|\;d(\frac{\theta}{2}) \\ & =32\pi a^2\int_0^{\pi }|\cos^4\frac{\theta}{2}\cdot\sin\frac{\theta}{2}|\;d(\frac{\theta}{2}) \\ & =-32\pi a^2\int_0^{\frac{\pi}{2} }\cos^4\theta\;d(\cos\theta) \\ & =-32\pi a^2\int_1^{0}\theta^4\;d\theta \\ & =32\pi a^2\int_0^{1}\theta^4\;d\theta \\ & =\frac{32}{5}\pi a^2 \end{aligned} A​=∫0π​2π⋅∣a(1+cosθ)⋅sinθ∣⋅2a⋅∣cos2θ​∣dθ=8πa2∫0π​∣21+cosθ​⋅2sin2θ​⋅2cos2θ​∣⋅∣cos2θ​∣d(2θ​)=32πa2∫0π​∣cos42θ​⋅sin2θ​∣d(2θ​)=−32πa2∫02π​​cos4θd(cosθ)=−32πa2∫10​θ4dθ=32πa2∫01​θ4dθ=532​πa2​

③体积

极坐标系下绕极轴旋转一周旋转体体积由公式1-9，则
V=23π∫0π[a(1+cos⁡θ)]3⋅sin⁡θdθ=−23πa3∫0π(1+cos⁡θ)3d(cos⁡θ)=−23πa3∫1−1(1+θ)3dθ=23πa3∫−11(1+θ)3d(1+θ)=23πa3∫02θ3dθ=83πa3\begin{aligned} V & =\frac{2}{3}\pi\int_0^\pi [a(1+\cos\theta)]^3\cdot \sin\theta\;d\theta \\ & =-\frac{2}{3}\pi a^3\int_0^\pi {(1+\cos \theta)^3\;d(\cos\theta)} \\ & =-\frac{2}{3}\pi a^3\int_1^{-1} {(1+\theta)^3\;d\theta} \\ & =\frac{2}{3}\pi a^3\int_{-1}^{1} {(1+\theta)^3\;d(1+\theta)} \\ & =\frac{2}{3}\pi a^3\int_0^2 {\theta^3\;d\theta} \\ & =\frac{8}{3}\pi a^3\\ \end{aligned} \\ V​=32​π∫0π​[a(1+cosθ)]3⋅sinθdθ=−32​πa3∫0π​(1+cosθ)3d(cosθ)=−32​πa3∫1−1​(1+θ)3dθ=32​πa3∫−11​(1+θ)3d(1+θ)=32​πa3∫02​θ3dθ=38​πa3​

三、双扭线

直角坐标形式：
(x2+y2)2=a2(x2−y2)(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)(x2+y2)2=a2(x2−y2)
极坐标或参数形式：
r2=a2cos2θr^2=a^2cos2\thetar2=a2cos2θ

令{x=rcos⁡θy=rsin⁡θ，则(x2+y2)2=a2(x2−y2)可表示为[(rcos⁡θ)2+(rsin⁡θ)2]2=a2[(rcos⁡θ)2−(rsin⁡θ)2)]即r2(sin2θ+cos2θ)=a2⋅r2(cos⁡2θ−sin⁡2θ)⇒r2=a2cos2θ令 \begin{cases} x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \\ \end{cases}，则(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)可表示为\\ [(r \cos \theta)^2+(r \sin \theta)^2]^2=a^2[(r \cos \theta)^2-(r \sin \theta)^2)] \\ 即r^2(sin^2\theta+cos^2\theta) =a^2\cdot r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\\ \Rightarrow r^2=a^2cos2\theta 令{x=rcosθy=rsinθ​，则(x2+y2)2=a2(x2−y2)可表示为[(rcosθ)2+(rsinθ)2]2=a2[(rcosθ)2−(rsinθ)2)]即r2(sin2θ+cos2θ)=a2⋅r2(cos2θ−sin2θ)⇒r2=a2cos2θ

双扭线图形：

(a>0，0≤θ≤2π)(a>0，0\leq \theta\leq2\pi)(a>0，0≤θ≤2π)

①弧长

由公式1-2，弧微分：ds=a2cos2θ+(a2cos⁡2θ)′2dθ=a2cos2θ+(a⋅−sin⁡2θ⋅22cos⁡2θ)2dθ=a2cos2θ+a2⋅sin⁡22θcos⁡2θdθ=a2(cos⁡22θcos⁡2θ+sin⁡22θcos⁡2θ)dθ=a⋅1cos⁡2θdθ=a⋅sec⁡2θdθ\begin{aligned} ds & =\sqrt{a^2cos2\theta+\sqrt{(a^2\cos2\theta)}\;'\;^2}\;d\theta \\ & =\sqrt{a^2cos2\theta+(a\cdot{\frac{-\sin2\theta\cdot2}{2\sqrt{\cos2\theta}}}})^2\;d\theta \\ & =\sqrt{a^2cos2\theta+a^2\cdot\frac{\sin^2 2\theta}{\cos2\theta}}\;d\theta \\ & =\sqrt{a^2(\frac{\cos^2 2\theta}{\cos2\theta}+\frac{\sin^2 2\theta}{\cos2\theta}})\;d\theta \\ & =a\cdot\sqrt{\frac{1}{\cos2\theta}}\;d\theta \\ & =a\cdot\sqrt{\sec2\theta}\;d\theta \end{aligned} ds​=a2cos2θ+(a2cos2θ)​′2​dθ=a2cos2θ+(a⋅2cos2θ​−sin2θ⋅2​​)2dθ=a2cos2θ+a2⋅cos2θsin22θ​​dθ=a2(cos2θcos22θ​+cos2θsin22θ​​)dθ=a⋅cos2θ1​​dθ=a⋅sec2θ​dθ​
（图像关于x、yx、yx、y轴对称，因此整个弧长等于4倍第一象限的弧长）
弧长：
S=4∫0π4a⋅sec⁡2θdθ=2a∫0π4sec⁡2θd(2θ)=2a∫0π2sec⁡θdθ(令cos⁡θ=x2，则sec⁡θ=1x，积分上下限由∫0π2变成∫10)=2a∫101xd(arccosx2)=2a∫101x⋅−1⋅2x1−(x2)2dx=4a∫0111−x4dx\begin{aligned} S & =4\int_0^{\frac{\pi}{4}} a\cdot\sqrt{\sec2\theta}\;d\theta \\ & =2a\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\sec2\theta}\;d(2\theta) \\ & =2a\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\sec\theta}\;d\theta \\ &(令\cos\theta=x^2，则\sqrt{\sec\theta}=\frac{1}{x}，积分上下限由\int_0^{\frac{\pi}{2}}变成\int_1^{0})\\ & =2a\int_1^{0}\frac{1}{x}\;d(arccosx^2)\ \\ & =2a\int_1^{0}\frac{1}{x}\cdot\frac{-1\cdot2x}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\;dx \\ & =4a\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}\;dx \\ \end{aligned} S​=4∫04π​​a⋅sec2θ​dθ=2a∫04π​​sec2θ​d(2θ)=2a∫02π​​secθ​dθ(令cosθ=x2，则secθ​=x1​，积分上下限由∫02π​​变成∫10​)=2a∫10​x1​d(arccosx2) =2a∫10​x1​⋅1−(x2)2​−1⋅2x​dx=4a∫01​1−x4​1​dx​

②面积

1.平面图形的面积

（图像关于x、yx、yx、y轴对称，因此整个面积等于4倍第一象限的面积）
由公式1-5，A=4⋅12∫0π4a2cos2θdθ=a2∫0π4cos2θd(2θ)=a2∫0π2cosθdθ=a2A=4\cdot\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}a^2cos2\theta \;d\theta=a^2\int_0^{\frac{\pi}{4}}cos2\theta \;d(2\theta)=a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos\theta \;d\theta=a^2A=4⋅21​∫04π​​a2cos2θdθ=a2∫04π​​cos2θd(2θ)=a2∫02π​​cosθdθ=a2

2.旋转曲面的侧面积（绕极轴旋转）

（图像关于极轴对称，因此整个旋转体的侧面积等于2倍上半轴图形绕极轴旋转的侧面积）
在①弧长中已经计算出来，弧微分：ds=a⋅1cos⁡2θdθds=a\cdot\sqrt{\frac{1}{\cos2\theta}}\;d\thetads=a⋅cos2θ1​​dθ
由公式1-6，面积元素：dA=2π⋅∣f(x)∣ds=2π⋅∣rsin⁡θ∣⋅a⋅1cos⁡2θdθ(而r=a⋅cos2θ)=2π⋅∣a⋅cos2θ⋅sin⁡θ∣⋅a⋅1cos⁡2θdθ=2πa2∣sin⁡θ∣dθdA=2\pi\cdot|f(x)|\;ds=2\pi\cdot|r \sin \theta|\cdot\;a\cdot\sqrt{\frac{1}{\cos2\theta}}\;d\theta(而r=a\cdot\sqrt{cos2\theta})\\=2\pi\cdot |a\cdot\sqrt{cos2\theta}\cdot \sin \theta|\cdot\;a\cdot\sqrt{\frac{1}{\cos2\theta}}\;d\theta=2\pi a^2|\sin \theta|\;d\thetadA=2π⋅∣f(x)∣ds=2π⋅∣rsinθ∣⋅a⋅cos2θ1​​dθ(而r=a⋅cos2θ​)=2π⋅∣a⋅cos2θ​⋅sinθ∣⋅a⋅cos2θ1​​dθ=2πa2∣sinθ∣dθ
A=2∫0π42πa2∣sin⁡θ∣dθ=4πa2∫0π4sin⁡θdθ=4πa2(1−22)A=2\int_0^{\frac{\pi}{4}}2\pi a^2|\sin \theta|\;d\theta=4\pi a^2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin \theta\;d\theta=4\pi a^2(1-\frac{\sqrt{2}}{2})A=2∫04π​​2πa2∣sinθ∣dθ=4πa2∫04π​​sinθdθ=4πa2(1−22​​)

③体积

参见书籍《一些经典数学问题的另类解算（戈衍三 / 北京理工大学出版社 / 2007-09 / ）P120》

四、星形线

直角坐标形式：
x23+y23=a23x^\frac{2}{3}+y^\frac{2}{3}=a^\frac{2}{3}x32​+y32​=a32​
极坐标或参数形式：
{x=acos⁡3t,y=asin⁡3t.\; \begin{cases} x=a\cos^3t, \\ y=a\sin^3t.\\ \end{cases} {x=acos3t,y=asin3t.​
星形线图形：

①弧长

(图像关于x、yx、yx、y轴对称，因此整个弧长等于4倍第一象限的弧长)
由公式1-2，弧微分：ds=(acos⁡3t)′2+(asin⁡3t)′2dt=[3acos⁡2t⋅(−sin⁡t)]2+(3asin⁡2t⋅cos⁡t)2dt=9a2⋅cos⁡4t⋅sin⁡2t+9a2⋅sin⁡4t⋅cos⁡2tdt=9a2⋅cos⁡2t⋅sin⁡2t(cos⁡2t⋅+sin⁡2t)dt=3a⋅cos⁡t⋅sin⁡t=3a2⋅sin⁡2tdt\begin{aligned} ds & =\sqrt{(a\cos^3t)\;'\;^2+(a\sin^3t)\;'\;^2}\;dt \\ & =\sqrt{[3a\cos^2t\cdot(-\sin t)]^2+(3a\sin^2t\cdot\cos t)^2}\;dt \\ & =\sqrt{9a^2\cdot\cos^4t\cdot\sin^2t+9a^2\cdot\sin^4t\cdot\cos^2 t}\;dt \\ & =\sqrt{9a^2\cdot\cos^2t\cdot\sin^2t(\cos^2t\cdot+\sin^2t})\;dt \\ & =3a\cdot\cos t\cdot\sin t \\ & =\frac{3a}{2}\cdot\sin 2t \;dt \\ \end{aligned} ds​=(acos3t)′2+(asin3t)′2​dt=[3acos2t⋅(−sint)]2+(3asin2t⋅cost)2​dt=9a2⋅cos4t⋅sin2t+9a2⋅sin4t⋅cos2t​dt=9a2⋅cos2t⋅sin2t(cos2t⋅+sin2t​)dt=3a⋅cost⋅sint=23a​⋅sin2tdt​
弧长：S=4∫0π23a2⋅sin⁡2tdt=3a∫0πsin⁡tdt=6a∫0π2sin⁡tdt=6aS=4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{3a}{2}\cdot\sin 2t \;dt \\ =3a\int_0^{\pi}\sin t\;dt =6a\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin t\;dt =6a S=4∫02π​​23a​⋅sin2tdt=3a∫0π​sintdt=6a∫02π​​sintdt=6a

②面积

1.平面图形的面积

（图像关于x、yx、yx、y轴对称，因此整个面积等于4倍第一象限的面积）
星形线第一象限与xxx轴围成的面积由公式1-4，DDD由y，x=0,x=ay，x=0,x=ay，x=0,x=a围成，则D=∫0af(x)dxD=\int_0^{a}f(x)\;dxD=∫0a​f(x)dx，再根据参数方程换元。
∫0adx\int_0^{a}\;dx∫0a​dx ⟹x=acos⁡3t\overset{x=a\cos^3t}\Longrightarrow⟹x=acos3t​ ∫π20d(acos⁡3t)\int_{\frac{\pi}{2}}^{0 }d(a\cos^3t)∫2π​0​d(acos3t)
A=4∫π20asin⁡3td(acos⁡3t)=−12a2∫π20sin⁡t4⋅cos⁡2tdt=12a2∫0π2sin⁡t4⋅(1−sin⁡2t)dt=12a2(∫0π2sin⁡t4dt−∫0π2sin⁡6tdt)=12a2⋅(34⋅12⋅π2−56⋅34⋅12⋅π2)=38πa2\begin{aligned} A & =4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0 }a\sin^3t\;d(a\cos^3t) \\ & =-12a^2\int_{\frac{\pi}{2}}^{0 }\sin t^4\cdot\cos^2t\;dt \\ & =12a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin t^4\cdot(1-\sin^2t)\;dt \\ & =12a^2(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin t^4\;dt-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^6t\;dt) \\ & =12a^2\cdot(\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2}-\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2}) \\ & =\frac{3}{8}\pi a^2 \\ \end{aligned}A​=4∫2π​0​asin3td(acos3t)=−12a2∫2π​0​sint4⋅cos2tdt=12a2∫02π​​sint4⋅(1−sin2t)dt=12a2(∫02π​​sint4dt−∫02π​​sin6tdt)=12a2⋅(43​⋅21​⋅2π​−65​⋅43​⋅21​⋅2π​)=83​πa2​

2.旋转曲面的侧面积（绕x轴旋转）

在①弧长中已经计算出来，弧微分：ds=3a2⋅sin⁡2tdtds=\frac{3a}{2}\cdot\sin 2t \;dtds=23a​⋅sin2tdt
由公式1-6，面积元素：
dA=2π⋅∣f(x)∣ds=2π⋅∣asin⁡3t∣⋅3a2⋅sin⁡2tdt=3a2π⋅∣sin⁡3t∣⋅sin⁡2tdt=6a2π⋅sin⁡4t⋅cos⁡tdtdA=2\pi\cdot|f(x)|\;ds=2\pi\cdot|a\sin^3t|\cdot\frac{3a}{2}\cdot\sin 2t \;dt \\ =3a^2\pi\cdot|\sin^3t|\cdot\sin 2t\;dt=6a^2\pi\cdot\sin^4t\cdot\cos t\;dtdA=2π⋅∣f(x)∣ds=2π⋅∣asin3t∣⋅23a​⋅sin2tdt=3a2π⋅∣sin3t∣⋅sin2tdt=6a2π⋅sin4t⋅costdt
A=∫0π6a2π⋅sin⁡4t⋅cos⁡tdt=12a2π∫0π2sin4td(sin⁡t)=12a2π∫01t4dt=125πa2\begin{aligned} A & =\int_0^{\pi }6a^2\pi\cdot\sin^4t\cdot\cos t\;dt \\ & =12a^2\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^4t\;d(\sin t) \\ & =12a^2\pi\int_0^{1}t^4\;dt \\ & =\frac{12}{5}\pi a^2 \\ \end{aligned} A​=∫0π​6a2π⋅sin4t⋅costdt=12a2π∫02π​​sin4td(sint)=12a2π∫01​t4dt=512​πa2​

③体积

(由于星形线关于x、yx、yx、y轴对称，因此绕x轴或y轴旋转一周的体积相等)
星形线在x轴上半轴的面积DDD由y，x=−a,x=ay，x=-a,x=ay，x=−a,x=a围成，则该面积绕xxx轴旋转一周后，由公式1-7，
则Vx=π⋅∫abf2(x)dx=π⋅∫−aaf2(x)dxV_x=\pi\cdot\int_a^b{f^2(x)\;dx}=\pi\cdot\int_{-a}^{a}{f^2(x)\;dx}Vx​=π⋅∫ab​f2(x)dx=π⋅∫−aa​f2(x)dx，再根据参数方程换元。
∫−aadx\int_{-a}^{a}dx∫−aa​dx ⟹x=acos⁡3t\overset{x=a\cos^3t}\Longrightarrow⟹x=acos3t​ ∫π0d(acos⁡3t)\int_\pi^{0}d(a\cos^3t)∫π0​d(acos3t)
Vx=π∫π0(asin⁡3t)2d(acos⁡3t)=−3πa3∫π0sin⁡7t⋅cos⁡2tdt=3πa3∫0πsin⁡7t⋅(1−sin⁡2t)dt=6πa3(∫0π2sin⁡t7dt−∫0π2sin⁡9tdt)=6πa3⋅(67⋅45⋅23⋅1−89⋅67⋅45⋅23⋅1)=32105πa3\begin{aligned} V_x & =\pi\int_\pi^{0 }(a\sin^3t)^2\;d(a\cos^3t) \\ & =-3\pi a^3\int_\pi^{0 }\sin^7t\cdot\cos^2t\;dt \\ & =3\pi a^3\int_0^{\pi}\sin^7t\cdot(1-\sin^2t)\;dt \\ & =6\pi a^3(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin t^7\;dt-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^9t\;dt) \\ & =6\pi a^3\cdot(\frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot1-\frac{8}{9}\cdot\frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}\cdot1) \\ & =\frac{32}{105}\pi a^3 \\ \end{aligned} Vx​​=π∫π0​(asin3t)2d(acos3t)=−3πa3∫π0​sin7t⋅cos2tdt=3πa3∫0π​sin7t⋅(1−sin2t)dt=6πa3(∫02π​​sint7dt−∫02π​​sin9tdt)=6πa3⋅(76​⋅54​⋅32​⋅1−98​⋅76​⋅54​⋅32​⋅1)=10532​πa3​

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