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POJ-3241 Object Clustering

Dscription

We have N (N ≤ 10000) objects, and wish to classify them into several groups by judgement of their resemblance. To simply the model, each object has 2 indexes a and b (a, b ≤ 500). The resemblance of object i and object j is defined by dij = |ai - aj| + |bi - bj|, and then we say i is dij resemble to j. Now we want to find the minimum value of X, so that we can classify the N objects into K (K < N) groups, and in each group, one object is at most X resemble to another object in the same group, i.e, for every object i, if i is not the only member of the group, then there exists one object j (i ≠ j) in the same group that satisfies dij ≤ X

Input

The first line contains two integers N and K. The following N lines each contain two integers a and b, which describe a object.

Output

A single line contains the minimum X.

Sample Input

6 2
1 2
2 3
2 2
3 4
4 3
3 1

Sample Output

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- 题意 -

　曼哈顿距离最小生成树上第k大的边.
　曼哈顿距离: (对于点A(x1, y1), B(x2, y2))
　dis(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2| dis(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2| .
　(下文中dis() dis() , 距离均指曼哈顿距离)
　(下文中dis() dis() , 距离均指曼哈顿距离)
　(下文中dis() dis() , 距离均指曼哈顿距离)
　

- 思路 -

　参考题解:　 http://blog.csdn.net/huzecong/article/details/8576908
　
　直接暴力的话会有N 2  N2 条边, 总复杂度O(N 2 logN)(N≤10000) O(N2logN)(N≤10000) .
　果断爆炸.
　我们可以删去一些无用边.
　
　对于一个平面上的点 i(x i ,y i ) i(xi,yi) , 我们以它为中心把周围部分为8份.
　
　
　考虑每一份中最多有一个点与点 i 相连, 如 R1:
　
　
　设此时点A是与点 i 距离最小的点, 则为点A, i建一条边, 考虑该部分的其它点(如点B), 它们与 A 的距离显然小于与 i 的距离(如dis(A,B)<dis(i,B) dis(A,B)<dis(i,B) ), 所以其它点与 A 连边优于i.
　以上图三个点为例, 用两条边将它们联通的最小代价W=dis(i,A)+dis(A,B)≤dis(i,A)+dis(i,B) W=dis(i,A)+dis(A,B)≤dis(i,A)+dis(i,B)
　dis(i,A)+dis(A,B)=dis(i,A)+dis(i,B) dis(i,A)+dis(A,B)=dis(i,A)+dis(i,B) 的情况如下:(A−B A−B 连线垂直于A−i A−i 连线)
　
　所以对于每个点每一份中只需要连一条边, 由于边是无向的, 我们可以只连向右的边(也就是R1-4内的点, 点 i 向左的连线由左边的点来连), 这样就只有N*4条边了.
　继续分析R1的情况, 如何找到 A 点.
　发现首先 R1 区间内的点 k 满足 :
　　X i ≤X k  Xi≤Xk
　　 X k −X i ≤Y k −Y i  Xk−Xi≤Yk−Yi 即 Y i −X i ≤Y k −X k  Yi−Xi≤Yk−Xk (k为R1内任一点)
　我们在满足条件的点中找到X+Y X+Y 最小的节点就行了.
　于是我们可以维护一个树状数组(线段树), 底层按离散化后的Y−X Y−X 排序, 维护区间内X+Y X+Y 的最小值,
按照先从右到左, 再从上到下的顺序插入节点并查找.
　对于R2-4三个部分, 我们可以对点进行旋转, 将它们转换为 R1 内的点.
　
　(注意看原先的R1的位置依次有R2, R3, R4的点, 这样就可以连出四个部分的边了)
　
　细节见代码.
　

- 代码 -

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;const int N = 1e5 + 5;
const int inf = 0x3f3f3f3f;struct edge
{int x, y, v;bool operator < (const edge &tmp) const{return v < tmp.v;}
} E[N<<3];struct point
{int x, y, id;bool operator < (const point &tmp) const{return x == tmp.x ? y < tmp.y : x < tmp.x;}
} P[N];struct lsh
{int id, a;bool operator < (const lsh &tmp) const{return a < tmp.a;/*     if (a == tmp.a) return id < tmp.id;return a < tmp.a;*/}
} LSH[N];int A[N], F[N];
int MI[N], ID[N];
int n, c, sz, tot, cnt;int lowbit (int x)
{return x&(-x);
}int query(int x)
{int ans = -1, mi = inf;for (; x <= n; x += lowbit(x))if (MI[x] < mi){mi = MI[x];ans = ID[x];}return ans;
}void modify(int x, int mi, int id)
{for (; x > 0; x -= lowbit(x))if (MI[x] > mi){MI[x] = mi;ID[x] = id;}
}
//BIT维护的是某数字代表的区间的X+Y最小值, 若一区间的不同位置最小值不同, 该区间则没有最小值(即MI数组维护的是其表示的区间都可以取到的最小值)
int find(int x)
{return F[x] == x ? x : F[x] = find(F[x]);
}void join(int x, int y)
{int fx = find(x), fy = find(y);if (fx == fy) return;F[fx] = fy;cnt++;
}void init ()
{sort(P + 1, P + n + 1);for (int i = 1; i <= n; ++i){LSH[i].a = P[i].y - P[i].x;LSH[i].id = i;MI[i] = inf;ID[i] = -1;}
}int abs(int x, int y)
{return x > 0 ? x : -x;
}int dts(int x, int y)
{return abs(P[x].x - P[y].x) + abs(P[x].y  -P[y].y);
}void add_edge (int x, int y, int d)
{E[++sz].x = x;E[sz].y = y;E[sz].v = d;
}int main()
{scanf("%d%d", &n, &c);for (int i = 1; i <= n; ++i){scanf("%d%d", &P[i].x, &P[i].y);P[i].id = i;}for (int cas = 1; cas <= 4; ++cas){if (cas == 2 || cas == 4)for (int i = 1; i <= n; ++i)swap(P[i].x, P[i].y);if (cas == 3)for (int i = 1; i <= n; ++i)P[i].x = -P[i].x;init();sort(LSH + 1, LSH + n + 1);//按Y-X离散化for (int i = 1; i <= n; ++i)A[LSH[i].id] = i; //A表示某点在BIT中的位置for (int i = n; i >= 1; --i){int tmp = query(A[i]);if (tmp != -1)add_edge(P[tmp].id, P[i].id, dts(tmp, i));modify(A[i], P[i].x + P[i].y, i);}}for (int i = 1; i <= n; ++i) F[i] = i;sort(E + 1, E + sz + 1);for (int i = 1; i <= sz; ++i){join(E[i].x, E[i].y);if (cnt == n - c){printf("%d\n", E[i].v);break;}}return 0;
}

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