自学笔记十四：Matlab浮点型：创建和转换、取值范围、运算和精度问题

1.浮点型的概念

浮点型分为单精度（single）浮点型和双精度（double）浮点型；

IEEE浮点数算术标准（IEEE 754）是IEEE二进位浮点数算术标准（IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic）的标准编号，等同于国际标准ISO/IEC/IEEE 60559。该标准由美国电气电子工程师学会（IEEE）计算机学会旗下的微处理器标准委员会（Microprocessor Standards Committee, MSC）发布，是最广泛使用的浮点数运算标准，为许多CPU与浮点运算器所采用。

这个标准定义了表示浮点数的格式（包括负零-0）与反常值（denormal number），一些特殊数值（无穷与非数值（NaN）），以及这些数值的“浮点数运算子”，它也指明了四种数值修约规则和五种例外状况（包括例外发生的时机与处理方式）。

2.计算机存储和表达

任何存储为double格式的值都需要64位，格式如下：

位	用法
`63`	符号（`0`=正数，`1`=负数）
`62` 至 `52`	指数
`51` 至 `0`	小数位（分数位）

任何存储为single格式的值都需要32位，格式如下：

位	用法
`31`	`符号（0=正数，1=负数）`
`30` `至` `23`	指数
`22` `至` `0`	小数位（分数位）

3.创建方法

创建双精度浮点数使用double函数，创建单精度浮点数使用单精度single函数；

程序示例：

double(1) %创建双精度浮点型1

a=1 %默认双精度浮点型，再赋值给a

single(1) %单精度1

4.浮点型的取值范围

测试浮点型数据的取值范围最大值和最小值分别使用realmax和realmin函数；

程序示例：

realmax('double') %双精度最大取值范围

[-realmax,-realmin,realmin,realmax] %完整的双精度取值范围（-0和0之间取不到任何值）

[-realmax('single'),-realmin('single'),realmin('single'),realmax('single')]

%单精度浮点型取值范围，上式未指定则默认取双精度浮点型范围

5.判断数据类型

判断是否为浮点型使用isfloat函数，测试一个变量的数据类型使用class函数；

程序示例：

a=1

isfloat(a) %判断是否浮点型

class(a) %测试变量a的数据类型

6.浮点型与整型的转换方法

c=int8(1) %整型1

c1=double(c) %整型转化为双精度，数据类型创建方法也是转化方法

c2=single(c) %转化为单精度

int8(c1) %双精度转化为整型

whos c c1 c2 %查看数据类型：双精度8字节精度最高

7.精度问题的引出

先看一组程序示例：

(4/3-1)*3-1 %结果不是0

sin(pi) %结果不是0

说明，大家可以在Matlab运行上面两行代码看一下结果，是不是有点意外；

8.浮点型的精度问题

在Matlab中，几乎所有的运算，默认都是以符合IEEE 754标准的双精度算法执行的，由于计算机只能以有限的精度表示数字（双精度要求52个尾数位），对于数值运算，这种浮点型表示值与其真实值存在微小的差异；

所以，如果浮点算术运算的结果不如预期的那样精确，甚至有时会产生数学上非直觉的结果，则很可能是由于计算机硬件的限制造成的，硬件可能没有足够的位来表示结果的完全准确性，因此仅截取了结果值的部分精度；

但这并不是matlab中的错误，运用IEEE 754标准所执行的所有计算都受到影响，其中包括用C或FORTRAN等；

9.精度问题相关函数eps

eps函数默认求数值1的精度，求得的结果是计算机表达1这个数值时，由于硬件限制产生的误差值，因为计算机有限位数只能存储有限精度；

程序示例（建议打开Matlab练习体会）

eps

1+eps %返回结果1，即eps视为和1之间没有再存储其他数值，返回1

eps(10) %10附近的精度

eps(100) %100附近的精度

eps(single(100)) %单精度100附近的精度

10.精度问题的处理方法：符号运算

程序示例：

(4/3-1)*3-1 %4/3并非完整精确的分数，而是有限存储空间内的近似值，因此结果并非0

(sym(4/3)-1)*3-1 %返回0，引入符号型获得精确4/3值

sin(pi) %圆周率pi会保留部分精度的小数再进行计算，因此结果有误差

sin(sym(pi)) %sym将pi转化为符号型再求sin值，结果是0

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