求y=sinx在[0,π]上的反函数

1.先介绍sinx和arcsinx相关知识

sinx：正弦函数 arcsinx：反正弦函数

y=sinx图像

y=arcsinx图像

性质对比

函数类型	定义域	值域	周期	对乘轴
y=sinx	R	[-1,1]	2π	kπ+(π/2)
y=arcsinx	[-1,1]	[-π/2,π/2]		中心对称

2.应用

（1）求y=sinx[0，π]的反函数

解：当x∈[0,π/2]，y=sinx的反函数x=arcsiny

当x∈[π/2,π]，y=sinx的定义域不是其反函数的值域，所以我们首先要利用诱导公式把sinx在[π/2,π]的定义域变成[0,π/2]。易得π-x∈[0,π/2]且sin(π-x)=sinx=y，所以其反函数x=π-arcsiny

(2)求0≤y≤sinx，0≤x≤π所示平面图形绕y轴旋转所得立体的体积

解析：把图中阴影部分绕y轴旋转所得立体，y∈[-1,1]，我们可以把V看做两部分组成，[π/2,π]绕y轴旋转的体积V1减去[0,π/2]/绕y轴旋转的体积

【方法一】

解：当x∈[0,π/2]，y=sinx的反函数x=arcsiny；当x∈[π/2,π]，y=sinx反函数x=π-arcsiny。

【方法二】

解析：曲边梯形0≤y≤f(x),a≤x≤b绕y轴旋转所得立体体积的公式为

直接带公式：

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