1.前缀树（Trie Tree）

1.1 字符串生成前缀树的过程

字母是填在路上的，不是填在节点上的。

首先是一个空的头结点：

加入“abc”到这棵树中：

头结点有到a的路吗？没有，添加：

有a到b的路吗？没有，添加，c也一样：

接着添加字符串“bce”：

添加字符串“abd”：

添加字符串“bef”：

在添加N个字符串之后，可以查询，“某个字符串是否是以“be”开始的”。

若要查询“是否含有字符串“be”？”，原始的树结构，不足以实现这个功能。

添加了“bef”，但是“be”的路径和“bef”的路径是重合的，无法判断有没有加过“be”。

需在节点处添加一个值，表示有多少个字符串是以这个字符结尾的。更改之后的树结构如下图：

此时b-e中e后面的节点值为0，说明没有加过"be"。

此树结构还可以查某个字符串加过几次。

“给出有多少个字符串以给定的额字符串作为前缀”——需要再加一个数据项：每一个节点被划过了多少次。

上述树结构，更改之后如下图所示：

添加字符串的代价：字符串本身的长度，和数据量N无关；

查某个字符的代价：字符串本身的长度，和数据量N无关；

1.2 代码实现

package Tree;public class TrieTree {public static void main(String[] args) {Trie trie = new Trie();System.out.println(trie.search("hello"));trie.insert("hello");System.out.println(trie.search("hello"));trie.delete("hello");System.out.println(trie.search("hello"));trie.insert("hello");trie.insert("hello");trie.delete("hello");System.out.println(trie.search("hello"));trie.delete("hello");System.out.println(trie.search("hello"));trie.insert("helloa");trie.insert("helloac");trie.insert("helloab");trie.insert("helload");trie.delete("helloa");System.out.println(trie.search("helloa"));System.out.println(trie.prefixNumber("hello"));}public static class TrieNode{public int path;public int end;public TrieNode[] nexts;//此节点有多少条通往下层的路//通过判断此节点的路径指向的节点是否为空来判断这条路是否存在public TrieNode() {this.path=0;this.end=0;this.nexts=new TrieNode[26];//26个字母就26条路}}public static class Trie{TrieNode root;public Trie() {root=new TrieNode();}public void insert(String str) {if(str==null)return;char[] arr=str.toCharArray();TrieNode node=root;int index=0;for(int i=0;i<arr.length;i++) {index=arr[i]-'a';//0~25if(node.nexts[index]==null)node.nexts[index]=new TrieNode();node=node.nexts[index];//node往下挑跳一个，i=0时是从头结点跳到第一个节点node.path++;}node.end++;//整个字符串加完之后，最后一个字符的end+1；}public int search(String str) {if(str==null)return 0;char[] arr=str.toCharArray();TrieNode node=root;int index=0;for(int i=0;i<arr.length;i++) {index=arr[i]-'a';//0~25if(node.nexts[index]!=null)node=node.nexts[index];elsereturn 0;}return node.end;}public void delete(String str) {if(search(str)==0)return;char[] arr=str.toCharArray();TrieNode node=root;int index=0;for(int i=0;i<arr.length;i++) {index=arr[i]-'a';//0~25if(--node.nexts[index].path==0) {//判断是否需要断掉这条路node.nexts[index]=null;return;}elsenode=node.nexts[index];}node.end--;}public int prefixNumber(String str) {if(str==null)return 0;char[] arr=str.toCharArray();TrieNode node=root;int index=0;for(int i=0;i<arr.length;i++) {index=arr[i]-'a';//0~25if(node.nexts[index]!=null)node=node.nexts[index];elsereturn 0;}return node.path;}}
}

运行结果：

2.贪心策略

（使用对数器严重贪心策略是否正确，不要纠结正确性证明）

贪心：根据某个标准分出个优先级，然后按照优先级的顺序执行。

2.1 举例

拼接字符串，使得结果为最小（按字典序）。

比如："ab"、“cd”、"ef"三个字符串，拼接的结果可以由多种，但是”abcdef“这个结果才是最小的，题目中想要的。

2.1.1 分析

若先将字符串数组中的字符串拍好序再进行拼接，如下：

if(str1<=str2)str1连接str2;
elsestr2连接str1;

这种方式不对，因为："b"<"ba"，但是拼接之后"bba">"bab"。

所以正确的比较策略应该是：

if(str1连接str2<=str2连接str1)str1放前面;
elsestr2放前面;

即，谁作为前缀更小谁放前面。

2.1.2 代码实现

package Solution;import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;public class StrCon {public static void main(String[] args) {String[] strs1 = { "jibw", "ji", "jp", "bw", "jibw" };System.out.println(lowestString(strs1));String[] strs2 = { "ba", "b" };System.out.println(lowestString(strs2));}public static class MyComparator implements Comparator<String>{@Overridepublic int compare(String str1, String str2) {return (str1+str2).compareTo(str2+str1);/** compareTo* 如果指定的数与参数相等返回0。* 如果指定的数小于参数返回 -1。* 如果指定的数大于参数返回 1。*/}      }public static String lowestString(String[] strs) {if(strs==null||strs.length==0)return " ";Arrays.sort(strs, new MyComparator());String res=" ";for(int i=0;i<strs.length;i++) res+=strs[i];return res;}
}

运行结果：

2.1.3 结论

当比较策略是个环时，不具有传递性，这个比较策略无效。

例如，有甲、乙、丙三个变量，订制的策略为：

甲和乙：甲在前；
乙和丙：乙在前；
甲和丙：丙在前。

以上策略构成一个环。

要使得比较的结果唯一，则设定的比较策略要具有传递性，即：

a.b≤b.a
b.c≤c.b
则：a.c≤c.a

以上式子中，将字符串等同于k进制的数：

$12$ 连接 $21$ 的结果为： $1221=12*10^{2}+21$
即12乘以10（进制）的21长度（2）次方

则字符串拼接可以理解为：

$a.b=a*k^{b.length}+b$

令 $m(b)=k^{b}$ ，则上述的传递性规则可表示为：

$a.b\leq b.a\Leftrightarrow a*m(b)+b\leq b*m(a)+a$
$b.c\leq c.b\Leftrightarrow b*m(c)+c\leq c*m(b)+b$

化简：

$a*m(b)+b\leq b*m(a)+a \\ \Leftrightarrow a*m(b)\leq b*m(a)+a-b \\ \Leftrightarrow a*m(b)*c\leq b*m(a)*c+a*c-b*c$

$b*m(c)+c\leq c*m(b)+b \\\Leftrightarrow b*m(c)+c-b\leq c*m(b) \\ \Leftrightarrow b*m(c)*a+c*a-b*a\leq c*m(b)*a$

由以上两个式子得：

$a*m(b)*c\leq b*m(a)*c+a*c-b*c$

$b*m(c)*a+c*a-b*a\leq c*m(b)*a$

由数的交换律和结合律可知：

$a*m(b)*c=c*m(b)*a$

所以：

$b*m(c)*a+c*a-b*a\leq b*m(a)*c+a*c-b*c$

化简结果：

$b*m(c)*a+c*a-b*a\leq b*m(a)*c+a*c-b*c \\ \Leftrightarrow b*m(c)*a-b*a\leq b*m(a)*c-b*c \\ \Leftrightarrow m(c)*a-a\leq m(a)*c-c \\ \Leftrightarrow m(c)*a+c\leq m(a)*c+a \\ \Leftrightarrow a.c\leq c.a$

得证。

要证明得到的字符串s是最小的字典序，即证明任意交换两个字符，得到的字典序都比s的字典序大。，

以得到的最小字典序字符串结果为： $...a,m_{1},...,m_{k},b,...$ ，要证明 $...b,m_{1},...,m_{k},a,...$ 肯定大于等于 $...a,m_{1},...,m_{k},b,...$

在第一个串中， $a$ 在 $m_{1}$ 的前面，则： $a.m_{1}\leq m_{1}.a$

若将 $a$ 和 $m_{1}$ 交换： $...a,m_{1},...,m_{k},b,...\leq ...m_{1},a,m_{2},...,m_{k},b,...$

一直换到 $a$ 和 $b$ 挨着：

$...m_{1},a,m_{2},...,m_{k},b,... \\ \leq ...m_{1},m_{2},a,...,m_{k},b,... \\ \leq ...m_{1},m_{2},...,a,m_{k},b,... \\ \leq ...m_{1},m_{2},...,m_{k},a,b,...$

然后将b往前换：

$...m_{1},m_{2},...,m_{k},a,b,... \\ \leq ...m_{1},m_{2},...,m_{k},b,a,... \\ \leq ...b,m_{1},m_{2},...,m_{k},a,...$

最终：

$...m_{1},a,m_{2},...,m_{k},b,... \leq ...b,m_{1},m_{2},...,m_{k},a,...$

所以，得到的结果 $...a,m_{1},...,m_{k},b,...$ 已是最小。

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