【BZOJ4237】稻草人

题意

给定平面上 $N$ 个关键点，询问有多少个矩形满足左下和右上各有一个关键点，且矩形中间没有关键点。

$N\le 2\cdot 10^5$ .

题解

我们按 $x$ 排序分治，对于左右两边的区间按 $y$ 排序。

考虑左边的点对右边的每个点产生的贡献。

比较容易发现，产生贡献的点的 $x$ 一定单减，我们维护一个单调栈。

我们注意到，如果左边的点能和之前统计的右边的点形成矩形，那么这个点一定不会对当前点产生贡献。

那么做法就比较显然了：我们对于离当前点最近的横坐标比它小的点，在左边二分找纵坐标比该点小的点数，统计答案时减掉这部分点即可。

怎么找这样的点？我们对右边维护一个横坐标单增的单调栈即可。

时间复杂度 $O(n\log ^2 n)$ ，代码非常好写。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int gi()
{char c; int x=0;for(;c<'0'||c>'9';c=getchar());for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';return x;
}
const int N=200005;
struct node {int x,y;
} a[N],b[N];
bool operator < (node s, node t) {return s.x<t.x;
}
bool cmp(node s, node t) {return s.y<t.y;
}
int n,s1[N],s2[N];
long long ans;
int _bound(int w, int r)
{int l=1;while(l<=r){int mid=l+r>>1;a[s2[mid]].y<w?l=mid+1:r=mid-1;}return l-1;
}
void cdq(int l, int r)
{if(l==r) return ;int mid=l+r>>1;cdq(l,mid),cdq(mid+1,r);int t1=0,t2=0;for(int i=mid+1,j=l;i<=r;++i){for(;t1&&a[s1[t1]].x>a[i].x;--t1);s1[++t1]=i;for(;j<=mid&&a[j].y<a[i].y;++j){for(;t2&&a[s2[t2]].x<a[j].x;--t2);s2[++t2]=j;}ans+=t2-_bound(a[s1[t1-1]].y,t2);}merge(a+l,a+mid+1,a+mid+1,a+r+1,b,cmp);for(int i=l,j=0;i<=r;++i,++j) a[i]=b[j];
}
int main()
{n=gi();for(int i=1;i<=n;++i) a[i].x=gi(),a[i].y=gi();sort(a+1,a+1+n);cdq(1,n);printf("%lld",ans);
}

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