动态规划——入门（1）

被动态算法折磨的我看到了大神的这篇文章，觉得明白了许多，转载过来，以便回顾。然没询问大神意见，望谅解
大神使用C++写的，我这代码是java
原文地址为：https://blog.csdn.net/baidu_28312631/article/details/47418773

动态规划相信大家都知道，动态规划算法也是新手在刚接触算法设计时很苦恼的问题，有时候觉得难以理解，但是真正理解之后，就会觉得动态规划其实并没有想象中那么难。网上也有很多关于讲解动态规划的文章，大多都是叙述概念，讲解原理，让人觉得晦涩难懂，即使一时间看懂了，发现当自己做题的时候又会觉得无所适从。我觉得，理解算法最重要的还是在于练习，只有通过自己练习，才可以更快地提升。话不多说，接下来，下面我就通过一个例子来一步一步讲解动态规划是怎样使用的，只有知道怎样使用，才能更好地理解，而不是一味地对概念和原理进行反复琢磨。
首先，我们看一下这道题（此题目来源于北大POJ）：
数字三角形(POJ1163)

在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99
输入格式：
5 //表示三角形的行数接下来输入三角形
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
要求输出最大和
接下来，我们来分析一下解题思路：
首先，肯定得用二维数组来存放数字三角形
然后我们用D( r, j) 来表示第r行第 j 个数字(r,j从1开始算)
我们用MaxSum(r, j)表示从D(r,j)到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和。
因此，此题的最终问题就变成了求 MaxSum(1,1)
当我们看到这个题目的时候，首先想到的就是可以用简单的递归来解题：
D(r, j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形，我们可以写出如下的递归式

if(i==n-1) {Maxsun[i][j]=num[i][j];}else{Maxsun[i][j]=Math.max(MaxSum(i+1, j, num),MaxSum(i+1, j+1, num))+num[i][j];}

根据上面这个简单的递归式，我们就可以很轻松地写出完整的递归代码:

package other_demo;import java.util.Scanner;public class dp {static int n;public static int MaxSum(int i,int j,int[][] num) {if(i==n-1) {return num[i][j];}return Math.max(MaxSum(i+1, j, num),MaxSum(i+1, j+1, num))+num[i][j];}public static void main(String[] args) {Scanner sc=new Scanner(System.in);n=sc.nextInt();int[][] num=new int[n][n];for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {num[i][j]=sc.nextInt();}}System.out.println("最大路径为："+MaxSum(0, 0,num));}
}

但是上面这个代码的运行时间会很长，因为我们重复计算了，当我们在进行递归时，计算机帮我们计算的过程如下图：

就拿第三行数字1来说，当我们计算从第2行的数字3开始的MaxSum时会计算出从1开始的MaxSum，当我们计算从第二行的数字8开始的MaxSum的时候又会计算一次从1开始的MaxSum，也就是说有重复计算。这样就浪费了大量的时间。也就是说如果采用递规的方法，深度遍历每条路径，存在大量重复计算。则时间复杂度为 2的n次方,对于 n = 100 行，肯定超时。

接下来，我们就要考虑如何进行改进，我们自然而然就可以想到如果每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用到其值的时候直接取用，则可免去重复计算。那么可以用n方的时间复杂度完成计算。因为三角形的数字总数是 n(n+1)/2。
根据这个思路，我们就可以将上面的代码进行改进，使之成为记忆递归型的动态规划程序：

package other_demo;import java.util.Scanner;public class dp {static int n;public static int MaxSum(int i,int j,int[][] num,int[][] maxnum) {if(maxnum[i][j]!=-1) {return maxnum[i][j];}if(i==n-1) {return num[i][j];}maxnum[i][j]=Math.max(MaxSum(i+1, j, num,maxnum),MaxSum(i+1, j+1, num,maxnum))+num[i][j];return maxnum[i][j];}public static void main(String[] args) {Scanner sc=new Scanner(System.in);n=sc.nextInt();int[][] num=new int[n][n];//使用maxsum[i][j]来记录num[i][j]路径一下的最大路径值。int[][] maxnum=new int[n][n];for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {num[i][j]=sc.nextInt();maxnum[i][j]=-1;}}System.out.println("最大路径为："+MaxSum(0, 0,num,maxnum));}}

虽然在短时间内就AC了。但是，我们并不能满足于这样的代码，因为递归总是需要使用大量堆栈上的空间，很容易造成栈溢出，我们现在就要考虑如何把递归转换为递推，让我们一步一步来完成这个过程。

我们首先需要计算的是最后一行，因此可以把最后一行直接写出，如下图：
现在开始分析倒数第二行的每一个数，现分析数字2，2可以和最后一行4相加，也可以和最后一行的5相加，但是很显然和5相加要更大一点，结果为7，我们此时就可以将7保存起来，然后分析数字7，7可以和最后一行的5相加，也可以和最后一行的2相加，很显然和5相加更大，结果为12，因此我们将12保存起来。以此类推。。我们可以得到下面这张图：

然后按同样的道理分析倒数第三行和倒数第四行，最后分析第一行，我们可以依次得到如下结果：

上面的推导过程相信大家不难理解，理解之后我们就可以写出如下的递推型动态规划程序：

package other_demo;import java.util.Scanner;public class dp {    public static void main(String[] args) {Scanner sc=new Scanner(System.in);int n;n=sc.nextInt();int[][] num=new int[n][n];int[][] maxnum=new int[n][n];for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {num[i][j]=sc.nextInt();}}for (int j =0; j <n; j++) {maxnum[n-1][j]=num[n-1][j];}for (int i = n-2; i >=0; i--) {for (int j = 0; j <= i; j++) {maxnum[i][j]=Math.max(maxnum[i+1][j], maxnum[i+1][j+1])+num[i][j];}}System.out.println("最大路径为："+maxnum[0][0]);}
}

我们的代码仅仅是这样就够了吗？当然不是，我们仍然可以继续优化，而这个优化当然是对于空间进行优化，其实完全没必要用二维maxSum数组存储每一个MaxSum(r,j),只要从底层一行行向上递推，那么只要一维数组maxSum[100]即可,即只要存储一行的MaxSum值就可以。
对于空间优化后的具体递推过程如下:

接下里的步骤就按上图的过程一步一步推导就可以了。进一步考虑，我们甚至可以连maxSum数组都可以不要，直接用D的第n行直接替代maxSum即可。但是这里需要强调的是：虽然节省空间，但是时间复杂度还是不变的。
依照上面的方式，我们可以写出如下代码:

package other_demo;import java.util.Scanner;public class dp {    public static void main(String[] args) {Scanner sc=new Scanner(System.in);int n;n=sc.nextInt();int[][] num=new int[n][n];int[][] maxnum=new int[n][n];for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {num[i][j]=sc.nextInt();}}for (int j =0; j <n; j++) {maxnum[n-1][j]=num[n-1][j];}for (int i = n-2; i >=0; i--) {for (int j = 0; j <= i; j++) {maxnum[n-1][j]=Math.max(maxnum[n-1][j], maxnum[n-1][j+1])+num[i][j];}}System.out.println("最大路径为："+maxnum[n-1][0]);}
}

作者：ChrisYoung1314
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/baidu_28312631/article/details/47418773
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