一、LFM

一、chirp信号

时域分析

复数形式：

$s(t)=rect(\frac{t}{T})exp(j\pi Kt^2)=u(t)exp(j\phi (t)t)$

$rect(\frac{t}{T})=\left\{\begin{matrix} 1,|t|\geq T/2& & \\ 0,|t|\leq T/2 & & \end{matrix}\right.$
t是时间变量(s)，K是线性调频率(Hz/s)，频率线性的向上或向下。

幅角： $\phi (t)=\pi Kt^2$ （rad），频率： $\omega =\frac{d(\phi (t))}{dt},f=\frac{\omega}{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\frac{d(\pi Kt^2)}{dt}=Kt$

带宽B指主要chirp能量占据的频率范围，满足 $B=|K|T$

时间带宽积是信号带宽和持续时间的乘积： $TBP=BT=|K|T^2$

Fs = 5e6;                   % 采样频率
T = 10e-5;                  % 脉冲宽度100微秒
B = 1e6;                    % 带宽1MHz
K= B/T;                    % 调频斜率
N = round(T*Fs);            % 采样点个数,round函数用于舍入到最接近的整数
t = -T/2:1/Fs:T/2-1/Fs;
%t = linspace(-T/2,T/2,N);-T/2到T/2，总共输出N个数，则步长为T/N
s = exp(i*K*pi*t.^2);       % 线性调频（LFM）信号
r=pi*K*(t.^2);                %幅角
f=K*t                      %频率
figure
subplot(2,2,1)
plot(t,real(s));            % real(s)表示信号s的实部
title('线性调频(LFM)信号实部');
xlabel('t/s');ylabel('幅度');
%axis([-5e-5 5e-5 -1 1])     % 根据生成图像限定范围
subplot(2,2,2)
plot(t,imag(s));            % imag(s)可以表示信号s的虚部
title('线性调频(LFM)信号虚部');
xlabel('t/s');ylabel('幅度');
%axis([-5e-5 5e-5 -1 1])     % 根据生成图像限定范围
subplot(2,2,3)
plot(t,r);
title('信号相位');
xlabel('t/s');ylabel('弧度');
subplot(2,2,4)
plot(t,f);
title('信号频率');
xlabel('t/s');ylabel('MHz');

频域分析

本节利用驻定相位原理（POSP）解出线性脉冲信号经过傅里叶变换后的近似解析表达式，从而分析信号频谱。时域周期足够多，POSP解才越精确。

1、找到一个线性调频信号

2、进行傅里叶变换

3、根据POSP得到傅里叶变换后的近似解

1、有线性调频信号 $g(t)=\omega (t)exp\left \{ j\phi (t) \right \}$

2、进行傅里叶变换 $G(f)=\int_{-\infty }^{\infty }g(t)exp\left \{ -j2\pi ft \right \}dt =\int_{-\infty }^{\infty }\omega (t)exp\left \{j\phi (t) -j2\pi ft \right \}dt =\int_{-\infty }^{\infty }\omega (t)exp\left \{j\theta (t) \right \}dt$

3、POSP：信号相位在导数为零的时候是“驻留的”，相位变化慢，积分正负抵消很少。

直接给出近似公式： $G(f)\approx C_{1}W(f)exp\left \{ j\Theta (f) \pm \pi /4\right \}$

$C_{1}=\sqrt{\frac{2\pi }{|\Phi''( {t_{s}})|}},\Phi''( {t_{s}})=\theta {}''(t_{s}),\theta (t)=\phi (t) -2\pi ft$

$W(f)=\omega [t(f)],\Theta (f)=\theta [t(f)]$ ，t(f)由信号时频关系给出，即 $\frac{d\left \{ \theta (t)=\phi (t) -2\pi ft\right \}}{dt}=0$

通过离散傅里叶变换得到：

Fs = 5e6;                   % 采样频率
T = 20e-5;                  % 脉冲宽度100微秒
B = 1e6;                    % 带宽1MHz
K= B/T;                    % 调频斜率
N = round(T*Fs);            % 采样点个数,round函数用于舍入到最接近的整数
t = -T/2:1/Fs:T/2-1/Fs;
%t = linspace(-T/2,T/2,N);-T/2到T/2，总共输出N个数，则步长为T/N
s = (abs(t)<T/2).*exp(i*K*pi*t.^2);       % 线性调频（LFM）信号
%% 频谱分析
F=K*t                      %频率
N=round(T/(1/Fs));          %采样点数
f=linspace(-Fs/2,Fs/2,N);  %频率采样
Sf=fftshift(fft(s));       %快速傅里叶变换
r=-pi*f.^2*K;
%% 画图
figure
subplot(2,1,1)
plot(f/1e6,abs(Sf));      %取模
title('chirp信号 幅度谱');
xlabel('f/MHz');ylabel('幅度谱');
axis([-1 1 0 85]);
subplot(2,1,2)
plot(f/1e6,r);            %相角
title('chirp信号 相位谱');
xlabel('f/MHz');ylabel('相位谱');

通过POSP得到：

需改动：

F=K*t;                      %频率
N1=2*N-1;                %采样点数
f=linspace(-K*T/2,K*T/2,N1);  %频率采样
Sf=exp(-i*pi*f.^2/K);       %POSP

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