非线性系统知识梳理

1. 拉萨尔不变集原理 Invariance Principle_LaSalle's Theorem

回顾李雅普诺夫直接法：构造李雅普诺夫函数 $V$ 判断平衡点的稳定性。

李雅普诺夫稳定： $V>0,\dot{V}\leq0$ ，渐进稳定： $V>0,\dot{V}<0$

但是，渐近稳定在实际系统中是个很重要很好的性质，我们总是希望能得到渐近稳定的结论，而不仅仅是稳定的结论。

以上分析都只是系统稳定或者渐近稳定的充分条件，因此具有很大的保守性。也就是说有些系统虽然基于Lyapunov Theorem for Local/Global stability分析只能推出 $\dot{V}\leq0$ 从而得到系统稳定有界的结论(both autonomous system and non-autonomous system)，但是系统其实是渐近稳定的(例如autonomous system)。La Salle不变集原理就是来帮助你基于 $\dot{V}\leq0$ ，却可能得出渐近稳定结论，或者告诉你系统具体收敛到哪个值(autonomous system)。

推论：考虑到自治系统 $\dot{x}=f(x)$ ，其中 $f(x)$ 连续， $V(x)$ 对 $x$ 具有连续一阶偏导，在原点的周围邻域满足：

$V(x)$ 局部正定
$\dot{V}(x)$ 半负定
La Salle不变集原理中定义的 $\mathbb{R}$ 集合只有 $x=0$ 这个点

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