matlab正交表,正交表的构造方法及Matlab实现

* 基金项目: 国家自然科学基金( 11571094) 正交表的构造方法及 Matlab 实现* 河南师范大学数学与信息科学学院( 453007) 庞善起鹿姗姗正交试验设计是研究多因素水平的试验设计方法，它是一种高效率、快速、经济的试验设计方法。正交表在卫生、统计、医药、农业、制造业等方面都有非常重要的应用，尤其是高强度正交表可以研究较多因素之间的相互作用，但是正交表的强度越高越难构造; 另外，混合正交表的魅力在于它有较大的灵活性，允许试验因素具有不同水平数，得到了越来越多的关注。因此如何快速、高效地得到需要的正交表是有必要和有意义的。至今为止，已经有许多组合数学家和统计学家致力于正交表的研究，例如杨子胥、庞善起、张应山、杜蛟等分别在文献［1 － 8］中给出了不同类型的正交表的构造方法，这些正交表不仅在试验设计中有广泛的应用，随着研究的不断深入，它们还可以被应用于编码学、密码学、计算机科学中。正交表构造方法与原理 1. Ltu( tm) 型正交表［1］假设 t 为任意一个素数或者素数方幂，而 GF( t) 为 t 阶有限域。令 Vu = { 一切 u 维向量( a1，a2，…，au) } ，其中 ai∈GF( t) ，且 u ＞1。并且 Vu 对于向量的加法以及域中元素与向量的乘法，作成域 GF( t) 上包含 tu 个向量的一个向量空间。在空间 Vu 中，以下的 tu －1 t －1 个向量( 最后一个不等于0 的分量都是1) 是两两线性无关的: ( 1，0，0，…，0，0，0) 1 个 ( bu －1，1，1，0，…，0，0，0) t 个 ( bu －2，1，bu －2，2，1，…，0，0，0) t2 个   ( b2，1，b2，2，b2，3，…，b2，u －2，1，0) tu －2个( b1，1，b1，2，b1，3，…，b1，u －2，b1，u －1，1) tu －1个因为每个 bij为域 GF( t) 的所有元素，即有 t 种取法，所以以上的向量，就是 Vu 的全部标准向量，共有 1 + t + t2 + …+ tu －2 + tu －1 = tu －1 t －1 个。构造 Ltu( tm) 型正交表的方法和步骤如下: 第 1 步，先给出 t 阶有限域 GF( t) ; 第2 步，再给出域 GF( t) 上的全体 u 维向量( 共 tu 个) 和全部的标准向量( 共tu －1 t －1 个) ; 第3 步，以全体向量为行号，以全部的标准向量为列号，做出所有内积即可得 Ltu( tm) 型正交表。 2. 混合水平正交表混合水平正交表［1］可由 Ltu( tm) 型正交表通过并列而产生。构造混合水平正交表的方法和步骤如下: 第 1 步，可借助上文 Ltu( tm) 型正交表的方法得到 Ltu( tm) 型正交表; 第2 步，从 Ltu( tm) 中任意取定 k 个独立的列( k ＜ u) ; 第 3 步，从 Ltu( tm) 中去掉能用这 k 列线性表示的所有列( 因此，剩下的任一列与这 k 列线性无关) ，设剩下的列所构成的正交表为 Ltu ( tr ) ，其中，r = m － tk －1 t －1 ; 第 4 步，再将这 k 列同行元素所构成的 tk 个互异的有序组，按字典排列法与 tk 个自然数 1，2，…，tk 建立一一对应，而把这 k 列所构成的每个有序组均换成它对应的自然数，便得到一个新的 tk 水平列; 第 5 步，把这个新列添加到 Ltu( tr) 上去，即得到混合水平正交表 Ltu t1 × t( )r

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